KAZI TANI Mohamed Nabil

Cette thèse de doctorat porte sur la modélisation de l’effort de prévention et de sa relation avec l’assurance de marché. Chacun des chapitres la composant, tente de capturer différents aspects de cette problématique, de l’étude d’un critère conforme aux pratiques actuarielles à celui du côté de l’offre en assurance, en passant par l’inclusion de biais de perception du risque et par une approche de la prévention en temps dynamique. Le chapitre 1 modélise la relation entre un assureur et un assuré sous la forme d’un jeu de Stackelberg. Dans ce jeu, l’assureur joue en premier en proposant un contrat d’assurance sous la forme d’un facteur de chargement. L’assuré joue ensuite en choisissant le taux de couverture et son effort de prévention optimaux. L’assuré comme l’assureur ont pour but de minimiser leurs mesures de risque respectives qui sont toutes deux cohérentes. Les effets respectifs de l’auto-assurance et l’auto-protection, sur la minimisation du risque seront étudiés. Dans chaque cas, il sera montré que les choix optimaux de l’assuré existent et le contrat optimal pour l’assureur sera caractérisé. De plus, il sera montré que si la mesure de risque de l’agent décroit plus rapidement que l’espérance de sa perte, alors l’effort optimal est croissant avec le facteur de chargement avec une discontinuité potentielle lorsque la couverture optimale passe de complète à nulle. Cependant, dans le cas contraire l’effort optimal peut être croissant ou décroissante en fonction du facteur de chargement. Le chapitre 2 étudie la relation entre auto-assurance et assurance de marché également sous la forme d’un problème d’optimisation pour un agent. De manière similaire au chapitre 1, cet agent doit déterminer le taux de couverture et l’effort de prévention qui réduiront de manière optimale sa mesure de risque. La mesure de risque considérée est dite de distorsion et est définie à partir d’une fonction de distorsion non concave. Ceci permet de tenir compte de biais cognitifs individuels potentiels dans la perception du risque. La caractérisation de la solution optimale pour l’agent permet d’apporter une nouvelle conclusion dans la relation entre auto-assurance et assurance de marché. L’auto-assurance n’est plus seulement substituable à l’assurance de marché, elle peut être également complémentaire à celle-ci, suivant la sensibilité de l’effort de prévention au prix de l’assurance. Le chapitre 3 se concentre sur l’auto-protection en proposant un problème de maximisation d’utilité espérée en version dynamique. Ceci se présente sous forme d’un problème de contrôle stochastique dans lequel l’agent choisit sa couverture assurantielle et son effort de prévention qui est dynamique. Le problème peut être séparé en deux sous-problèmes, le premier est une optimisation en l’effort et le second en la couverture assurantielle. Comme l’individu veut obtenir la richesse finale la plus importante possible, il cherche à maximiser l’espérance de l’utilité exponentielle de cette richesse. La richesse de l’agent peut être vue comme la solution d’une équation différentielle stochastique rétrograde à saut, cette équation admet une unique solution et qui est de plus explicite. En particulier, on obtient que l’effort optimal d’auto- protection est constant. La distribution initiale du processus de perte, quand il n’y a pas d’effort, est donnée par un processus de Poisson composé qui est notamment un processus de Lévy. Obtenir un effort optimal constant signifie donc que la propriété de Lévy des processus est préservée par la maximisation d’une espérance d’utilité exponentielle. L’analyse du problème en la couverture assurantielle donne une condition suffisante pour obtenir l’existence d’un niveau de couverture optimal. L’individu pourra alors souscrire à une assurance en fournissant un effort de prévention qui lui permettra de maximiser sa satisfaction ou bien choisir de ne pas souscrire au contrat mais en prenant toutefois part à des actions d’auto-protection.

Cette thèse traite d'une part, de questions de gestion, de mesure et de transfert du risque et d'autre part, de problèmes d'analyse stochastique à sauts avec incertitude de modèle. Le premier chapitre est consacré à l'analyse des intégrales de Choquet, comme mesures de risque monétaires non nécessairement invariantes en loi. Nous établissons d'abord un nouveau résultat de représentation des mesures de risque comonotones, puis un résultat de représentation des intégrales de Choquet en introduisant la notion de distorsion locale. Ceci nous permet de donner ensuite une forme explicite à l'inf-convolution de deux intégrales de Choquet, avec des exemples illustrant l'impact de l'absence de la propriété d'invariance en loi. Nous nous intéressons ensuite à un problème de tarification d'un contrat de réassurance non proportionnelle, contenant des clauses de reconstitution. Après avoir défini le prix d'indifférence relatif à la fois à une fonction d'utilité et à une mesure de risque, nous l'encadrons par des valeurs facilement implémentables. Nous passons alors à un cadre dynamique en temps. Pour cela, nous montrons, en adoptant une approche par point fixe, un théorème d'existence de solutions bornées pour une classe d'équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSRs dans la suite) avec sauts et à croissance quadratique. Sous une hypothèse additionnelle classique dans le cadre à sauts, ou sous une hypothèse de convexité du géKazi-Taninérateur, nous établissons un résultat d'unicité grâce à un principe de comparaison. Nous analysons les propriétés des espérances non linéaires correspondantes. En particulier, nous obtenons une décomposition de Doob-Meyer des surmartingales non-linéaires ainsi que leur régularité en temps. En conséquence, nous en déduisons facilement un principe de comparaison inverse. Nous appliquons ces résultats à l'étude des mesures de risque dynamiques associées, sur une filtration engendrée à la fois par un mouvement brownien et par une mesure aléatoire à valeurs entières, à leur repésentation duale, ainsi qu'à leur inf-convolution, avec des exemples explicites. La seconde partie de cette thèse concerne l'analyse de l'incertitude de modèle, dans le cas particulier des EDSRs du second ordre avec sauts. Nous imposons que ces équations aient lieu au sens presque-sûr, pour toute une famille non dominée de mesures de probabilités qui sont solution d'un problème de martingales sur l'espace de Skorohod. Nous étendons d'abord la définition des EDSRs du second ordre, telles que définies par Soner, Touzi et Zhang, au cas avec sauts. Pour ce faire, nous démontrons un résultat d'agrégation au sens de Soner, Touzi et Zhang sur l'espace des trajectoires càdlàg. Ceci nous permet, entre autres, d'utiliser une version quasi-sûre du compensateur de la mesure des sauts du processus canonique. Nous montrons alors un résultat d'existence et d'unicité pour notre classe d'EDSRs du second ordre. Ces équations sont affectées par l'incertitude portant à la fois sur la volatilité et sur les sauts du processus qui les dirige.