Un algorithme à étapes mixtes pour l'approximation du régime stationnaire d'une diffusion.

Résumé Dans des articles récents, certaines procédures basées sur des mesures empiriques pondérées liées à des schémas d'Euler à pas décroissants ont été étudiées pour approximer le régime stationnaire d'une diffusion (éventuellement avec des sauts) pour une classe de fonctionnelles du processus. Cette méthode est efficace mais nécessite le calcul de la fonction à chaque étape. Pour réduire la complexité de la procédure (en particulier pour les fonctionnelles), nous proposons dans cet article d'étudier un nouveau schéma, appelé schéma à étapes mixtes, où nous ne conservons que certaines valeurs du schéma d'Euler régulièrement espacées dans le temps. Notre résultat principal est que, lorsque les coefficients de la diffusion sont suffisamment lisses, cette alternative ne change pas l'ordre du taux de convergence de la procédure. Nous étudions également une méthode de Richardson-Romberg pour accélérer la convergence et montrons que la variance de l'algorithme original peut être préservée sous une hypothèse d'unicité pour la distribution invariante de la diffusion "dupliquée", condition qui est largement discutée dans l'article. Enfin, nous terminons en donnant des conditions suffisantes de "confluence asymptotique" pour l'existence d'une solution lisse à une version discrète de l'équation de Poisson associée, condition requise pour garantir les résultats du taux de convergence.