Estimation non-paramétrique du taux de division d'un processus de branchement dépendant de l'âge.

Résumé Nous étudions l'estimation non paramétrique du taux de branchement B(x) d'une population supercritique de Bellman-Harris : une particule d'âge x a une durée de vie aléatoire régie par B(x). A son heure de mort, elle donne naissance à k ≥ 2 enfants dont la durée de vie est régie par le même taux de division et ainsi de suite. Nous observons en temps continu le processus sur [0, T ]. L'asymptotique est prise comme T → ∞. Les données sont stochastiquement dépendantes et on doit faire face simultanément à la censure, à la sélection de biais et à la non-ancillarité du nombre d'observations. Dans ce contexte, sous des propriétés d'ergodicité appropriées, nous construisons un estimateur de B(x) basé sur le noyau qui atteint le taux de convergence exp(-λ_B β/(2β+1) T), où λ_B est le paramètre de Malthus et β > 0 est le lissage de la fonction B(x) dans un voisinage de x. Nous prouvons que ce taux est optimal dans un sens minimax et nous le relions explicitement aux modèles non paramétriques classiques tels que l'estimation de densité observée sur une échelle appropriée (dépendant du paramètre). Nous mettons également en lumière le fait que l'estimation avec des estimateurs à noyau basés sur des données vivantes au temps T seulement n'est pas suffisante pour obtenir des taux de convergence optimaux, un phénomène qui est spécifique à l'estimation non paramétrique et qui a été observé dans d'autres modèles de croissance-fragmentation connexes.