Quantification marginale récursive du schéma d'Euler d'un processus de diffusion.

Résumé Nous proposons une nouvelle approche pour quantifier les marginaux du processus de diffusion d'Euler discret. La méthode est construite de manière récursive et fait intervenir la distribution conditionnelle des marginales du processus d'Euler discret. Analytiquement, la méthode soulève plusieurs questions comme l'analyse de l'erreur de quantification quadratique induite entre les marginaux du processus d'Euler et les quantifications proposées. Nous montrons en particulier qu'à chaque pas de discrétisation $t_k$ du schéma d'Euler, cette erreur est bornée par les erreurs de quantification cumulées induites par l'opérateur d'Euler, des temps $t_0=0$ au temps $t_k$. Pour les calculs numériques, nous limitons notre analyse à une dimension et montrons comment calculer les grilles optimales à l'aide d'un algorithme de Newton-Raphson. Nous proposons ensuite une formule fermée pour les poids des compagnons et les probabilités de transition associés aux quantifications proposées. Ceci nous permet de quantifier en particulier les processus de diffusion dans les modèles de volatilité locale en réduisant considérablement la complexité de calcul de la recherche des quantificateurs optimaux tout en augmentant leur précision de calcul par rapport aux algorithmes communément proposés dans ce cadre. Des tests numériques sont effectués pour le mouvement brownien et pour l'évaluation d'options européennes dans un modèle de volatilité locale. Une comparaison avec les simulations de Monte Carlo montre que la méthode proposée peut parfois être plus efficace (en termes de précision de calcul et de complexité temporelle) que la méthode de Monte Carlo.