Random Pairwise Gossip on $\text{CAT}(\kappa)$ Metric Spaces.

Résumé Dans le contexte des réseaux de capteurs, les algorithmes de commérage sont une technique populaire et bien établie pour obtenir un consensus lorsque les données des capteurs sont codées dans des espaces linéaires. Les algorithmes de commérage ont également plusieurs extensions aux espaces de données non linéaires. La plupart de ces extensions traitent des manifolds riemanniens et utilisent la descente de gradient riemannienne. Cet article, au contraire, présente une propriété métrique très simple qui ne repose sur aucune structure différentielle. Cette propriété suggère fortement que les algorithmes de ragots pourraient être étudiés sur une famille plus large que les collecteurs riemanniens. Et il s'avère qu'en effet, la convergence (locale) est garantie dès que l'espace de données est un simple espace métrique CAT(κ). Nous étudions également la vitesse de convergence dans ce contexte et établissons des taux linéaires pour les espaces CAT(0), et des taux linéaires locaux pour les espaces CAT(κ) avec κ > 0. Des simulations numériques sur plusieurs scénarios, avec des espaces d'état correspondants qui sont soit des manifestes riemanniens - comme dans le problème du consensus des matrices définies positives - soit des espaces métriques nus - comme dans le problème du consensus des armes - valident les résultats. Cela montre que notre approche métrique permet non seulement une analyse mathématique plus simple et plus générale, mais ouvre également la voie à de nouveaux types d'applications qui dépassent le cadre riemannien.