Coordonnées barycentriques de Wasserstein.

Résumé Cet article définit une nouvelle façon d'effectuer des régressions intuitives et géométriquement fidèles sur des données à valeur d'histogramme. Il s'appuie sur la théorie du transport optimal, et en particulier sur la définition des barycentres de Wasserstein, pour introduire pour la première fois la notion de coordonnées barycentriques pour les histogrammes. Ces coordonnées prennent en compte la géométrie sous-jacente de l'espace de base sur lequel les histogrammes sont définis, et sont donc particulièrement significatives pour les applications graphiques aux formes, à la couleur ou à la modification des matériaux. Outre cette construction abstraite, nous proposons un schéma d'optimisation numérique rapide pour résoudre ce problème à rebours (trouver les coordonnées barycentriques d'un histogramme donné) avec une faible surcharge de calcul par rapport au problème à rebours (calculer le barycentre). Ce schéma repose sur une différenciation algorithmique à rebours de l'algorithme de Sinkhorn qui est utilisé pour optimiser la régularisation entropique des barycentres de Wasserstein. Nous présentons un ensemble illustratif d'applications de ces coordonnées de Wasserstein à divers problèmes d'infographie : approximation de formes, acquisition de BRDF et édition de couleurs.