Mesure invariante des diffusions dupliquées et application à l'extrapolation de Richardson-Romberg.

Résumé En vue d'applications numériques, nous abordons la question suivante : étant donné une diffusion brownienne ergodique avec une distribution invariante unique, quelles sont les distributions invariantes du système dupliqué constitué de deux trajectoires ? Nous nous concentrons principalement sur le cas intéressant où les deux trajectoires sont conduites par le même chemin brownien. Sous cette hypothèse, nous montrons d'abord que l'unicité de la distribution invariante (confluence faible) du système dupliqué est essentiellement toujours vraie dans le cas unidimensionnel. Dans le cas multidimensionnel, nous commençons par exposer des contre-exemples explicites. Ensuite, nous fournissons une série de critères de confluence faible (de type intégral) et également de confluence par chemin a.s., dépendant des coefficients de dérive et de diffusion par le biais d'un exposant de Lyapunov non infinitésimal. A titre d'exemple, nous appliquons nos critères à certains contextes non trivialement confluents tels que des classes de systèmes de gradient avec des potentiels non convexes ou des diffusions où la confluence est générée par la composante diffusive. Nous établissons enfin que la propriété de confluence faible est liée à un problème de transport optimal. Comme application principale, nous appliquons nos résultats à l'optimisation de l'extrapolation de Richardson-Romberg pour l'approximation numérique de la mesure invariante de la diffusion brownienne ergodique initiale.