Simulation Langevin multiniveau pondérée de mesures invariantes.

Résumé Nous étudions une extrapolation de Richardson-Romberg multi-niveaux pondérée pour l'approximation ergodique de distributions invariantes de diffusions adaptée de celle introduite dans~[Lemaire-Pag\`es, 2013] pour la simulation Monte Carlo régulière. Dans un premier résultat, nous prouvons sous des hypothèses de confluence faible sur la diffusion, que pour tout entier $R\ge2$, la procédure permet d'atteindre un taux $n^{\frac{R}{2R+1}}$ alors que la convergence de l'algorithme original est à un faible taux $n^{1/3}$. De plus, ceci est réalisé sans aucune explosion de la variance asymptotique. Dans une deuxième partie, sous des hypothèses de confluence plus fortes et à l'aide de certaines expansions du second ordre de l'erreur asymptotique, nous approfondissons l'étude en optimisant le choix des paramètres impliqués par la méthode. En particulier, pour un $\varepsilon>0$ donné, nous présentons quelques paramètres semi-explicites pour lesquels le nombre d'itérations du schéma d'Euler nécessaire pour atteindre une erreur quadratique moyenne inférieure à $\varepsilon^2$ est d'environ $\varepsilon^{-2}\log(\varepsilon^{-1})$. Enfin, nous calculons numériquement cet estimateur de Langevin multi-niveaux sur plusieurs exemples dont le simple processus d'Ornstein-Uhlenbeck unidimensionnel mais aussi sur une diffusion de haute dimension motivée par un problème statistique. Ces exemples confirment l'efficacité théorique de la méthode.