Lasso et inégalités probabilistes pour les processus ponctuels multivariés.

Résumé En raison de son faible coût de calcul, le Lasso est une méthode de régularisation attrayante pour les contextes statistiques à haute dimension. Dans cet article, nous considérons des processus de comptage multivariés dépendant d'un paramètre de fonction inconnu à estimer par des combinaisons linéaires d'un dictionnaire fixe. Pour sélectionner les coefficients, nous proposons une méthode de pénalisation adaptative de type $\ell_1$, où les poids de la pénalité basés sur les données sont dérivés de nouvelles inégalités de type Bernstein pour les martingales. Les inégalités d'Oracle sont établies sous des hypothèses sur la matrice de Gram du dictionnaire. Des résultats probabilistes non asymptotiques pour les processus de Hawkes multivariés sont prouvés, ce qui nous permet de vérifier ces hypothèses en considérant des dictionnaires généraux basés sur des histogrammes, des bases de Fourier ou d'ondelettes. Motivés par des problèmes d'inférence d'activité neuronale, nous réalisons finalement une étude de simulation pour les processus de Hawkes multivariés et comparons notre méthodologie avec la {\procédure Lasso adaptative} proposée par Zou dans \cite{Zou}. Nous observons un excellent comportement de notre procédure. Nous nous appuyons sur des aspects théoriques pour la question essentielle du réglage de notre méthodologie. Contrairement au Lasso adaptatif de \cite{Zou}, notre procédure de réglage s'avère robuste par rapport à tous les paramètres du problème, révélant son potentiel pour des utilisations concrètes, notamment en neurosciences.