Estimation adaptative pour les chaînes de Markov bifurquées.

Résumé Dans une première partie, nous prouvons des inégalités de déviation de type Bernstein pour les chaînes de Markov bifurquées (BMC) sous une hypothèse d'ergodicité géométrique, complétant ainsi des résultats antérieurs de Guyon et Bitseki Penda, Djellout et Guillin. Ces résultats préliminaires sont l'ingrédient clé pour mettre en œuvre des procédures d'estimation non paramétriques par seuillage en ondelettes : dans une deuxième partie, nous construisons des estimateurs non paramétriques de la densité de transition d'une BMC, de sa densité de transition moyenne et de la densité invariante correspondante, et montrons l'adaptation de la régularité sur diverses classes de Besov multivariées sous $L^p$ -l'erreur de perte, pour $1\leq p<\infty$. Nous prouvons que nos estimateurs sont (presque) optimaux dans un sens minimax. Comme application, nous obtenons de nouveaux résultats pour l'estimation du taux de fractionnement dépendant de la taille des modèles de croissance-fragmentation et nous étendons l'étude statistique des processus autorégressifs bifurqués.