Vérifications de modèles non paramétriques des hypothèses d'indice unique.

Résumé Les hypothèses semi-paramétriques à indice unique sont des approches de réduction de la dimension pratique et largement utilisées qui représentent un compromis entre les modèles paramétriques et entièrement non paramétriques pour les régressions ou les lois conditionnelles. Dans une configuration de régression moyenne, l'hypothèse SIM signifie que l'espérance conditionnelle de la réponse étant donné le vecteur des covariables est la même que l'espérance conditionnelle de la réponse étant donné une projection scalaire du vecteur des covariables. Dans une modélisation de distribution conditionnelle, sous l'hypothèse SIM, la loi conditionnelle d'une réponse étant donné le vecteur de covariables coïncide avec la loi conditionnelle étant donné une combinaison linéaire des covariables. Plusieurs techniques d'estimation pour les modèles à indice unique sont disponibles et couramment utilisées dans les applications. Cependant, le problème du test de la qualité de l'ajustement semble moins exploré et les propositions existantes présentent encore quelques inconvénients majeurs. Dans cet article, une nouvelle approche basée sur les noyaux pour tester les hypothèses SIM est introduite. Le vecteur de covariables n'a pas besoin d'avoir une densité et seul l'indice estimé sous l'hypothèse SIM est utilisé dans le lissage du noyau. Ainsi, l'effet des covariables de haute dimension est atténué et la normalité asymptotique de la statistique de test est obtenue. Indépendamment de la dimension fixe du vecteur de covariables, le nouveau test détecte les alternatives locales s'approchant de l'hypothèse nulle plus lentement que $n^{-1/2}h^{-1/4},$ où $h$ est la largeur de bande utilisée pour construire la statistique de test et $n$ est la taille de l'échantillon. Une procédure bootstrap sauvage est proposée pour les corrections d'échantillons finis des valeurs critiques asymptotiques. Les performances sur petits échantillons de notre test par rapport aux procédures existantes sont illustrées par des simulations.