Modèle à index unique épars.

Résumé Soit $(\bX, Y)$ une paire aléatoire prenant des valeurs dans $\mathbb R^p \times \mathbb R$. Dans le modèle dit à un seul indice, on a $Y=f^{\star}(\theta^{\star T}\bX)+\bW$, où $f^{\star}$ est une fonction inconnue mesurable à une variable, $\theta^{\star}$ est un vecteur inconnu dans $\mathbb R^d$, et $W$ désigne un bruit aléatoire satisfaisant $\mathbb E[\bW|\bX]=0$. Le modèle à indice unique est connu pour offrir un moyen flexible de modéliser une variété de phénomènes du monde réel à haute dimension. Cependant, malgré sa relative simplicité, ce schéma de réduction de dimension est confronté à de graves complications dès que la dimension sous-jacente devient plus grande que le nombre d'observations (paradigme ''$p$ plus grand que $n$''). Pour contourner cette difficulté, nous considérons le problème de l'estimation d'un modèle à indice unique du point de vue de la sparsité en utilisant une approche PAC-Bayes. Du point de vue théorique, nous proposons une inégalité d'oracle nette, qui est plus puissante que les inégalités d'oracle les plus connues pour d'autres procédures courantes de récupération à index unique. La méthode proposée est mise en œuvre au moyen de la technique de Monte Carlo par chaîne de Markov à saut réversible et ses performances sont comparées à celles des procédures standard.