Ordre convexe pour les dérivés dépendant du chemin : une approche de programmation dynamique.

Résumé Nous étudions l'ordre convexe (fonctionnel) de divers processus martingales continus, que ce soit par rapport à leurs coefficients de diffusion pour les EDDs pilotés par Lévy ou par rapport à leurs intégrandes pour les intégrales stochastiques. Les résultats principaux sont bordés de contre-exemples. Diverses limites supérieures et inférieures peuvent être dérivées pour le prix des options européennes dans les modèles de volatilité locale. En vue d'applications numériques, nous adoptons une méthodologie systématique (et symétrique) : (a) Propager la convexité dans un modèle en temps discret dominant/dominé (simulable) par une rétro-induction (ou principe dynamique linéaire). (b) Appliquer les résultats de convergence faible fonctionnelle aux schémas numériques/discrétisations temporelles de la martingale en temps continu satisfaisant (a) afin de transférer les propriétés d'ordre convexe. Diverses limites sont dérivées pour les options européennes écrites sur des paiements convexes dépendant du chemin. Nous reprenons et étendons les résultats obtenus par plusieurs auteurs depuis l'article fondateur de Hajek en 1985. Dans une deuxième partie, nous étendons cette approche aux problèmes d'arrêt optimal en utilisant un que l'enveloppe de Snell satisfait (a') un principe de programmation dynamique à rebours pour propager la convexité en temps discret. (b') satisfait des résultats de convergence abstraits sous l'hypothèse de non-dégénérescence sur les filtrations. Des applications à la comparaison des prix d'options américaines sur des processus convexes de paiement par chemin sont données, obtenues par un argument purement probabiliste.