Ensembles invariants $\beta$-Wishart, densités de croisement et corrections asymptotiques de la loi de Marchenko-Pastur.

Résumé Nous construisons un modèle matriciel diffusif pour l'ensemble de Wishart (ou de Laguerre) de $\beta$ pour un ensemble continu général de $\beta$ dans [0,2]$, qui préserve l'invariance sous la transformation de groupe orthogonal/unitaire. En mettant à l'échelle l'indice de Dyson $\beta$ avec la plus grande taille $M$ de la matrice de données comme $\beta=2c/M$ (avec $c$ une constante positive fixe), nous obtenons une famille de densités spectrales paramétrées par $c$. Lorsque l'on fait varier $c$, cette densité interpole continuellement entre la loi de Mar\vcenko-Pastur (limite de $c\à \infty$) et la loi de Gamma (limite de $c\à 0$). En analysant l'équation complète de la transformation de Stieltjes (résolvent), nous obtenons comme sous-produit la correction de la densité de Mar\vcenko-Pastur dans la masse jusqu'à l'ordre 1/M pour tous les $\beta$ et jusqu'à l'ordre $1/M^2$ pour les cas particuliers $\beta=1,2$.