Analyse multirésolution des classements incomplets.

Résumé Les classements incomplets sur un ensemble d'éléments {1, ., n} sont des ordonnancements de la forme a_{1} \prec . \prec a_{k}, avec {a_{1}, ., a_{k}} \sous-ensemble {1, ., n} et k < n. Bien qu'ils apparaissent dans de nombreuses applications modernes, seules quelques méthodes ont été introduites pour les manipuler, la plupart consistant à représenter tout classement incomplet par l'ensemble de toutes ses extensions linéaires possibles sur {1, ., n}. L'objectif principal de cet article est d'introduire une approche complètement nouvelle, qui permet de traiter les classements incomplets directement, en les représentant comme des mots injectifs sur {1, ., n}. De manière inattendue, les opérations sur les classements incomplets ont des équivalents très simples dans ce contexte et la structure topologique du complexe de mots injectifs peut être interprétée de manière simple du point de vue du classement. Nous exploitons ici cette connexion et utilisons des résultats récents de la topologie algébrique pour construire une analyse multirésolution et développer un cadre d'ondelettes pour les classements incomplets. Bien que purement combinatoire, cette construction repose sur les mêmes idées qui sous-tendent l'analyse multirésolution sur un espace euclidien et permet de localiser l'information liée aux classements sur chaque sous-ensemble d'éléments. Elle peut être considérée comme une étape cruciale vers l'approximation non linéaire des distributions de classements incomplets et ouvre la voie à de nombreuses applications statistiques, notamment l'analyse des données de préférence et la conception de systèmes de recommandation.