Vibrato et différenciation automatique pour les dérivés d'ordre élevé et les sensibilités des options financières.

Résumé Cet article traite du calcul des grecques de second ordre ou d'ordre supérieur des titres financiers. Il combine deux méthodes, le Vibrato et la différenciation automatique, et les compare à d'autres méthodes. Nous montrons que cette technique combinée est plus rapide que les différences finies standard, plus stable que la différentiation automatique des dérivées d'ordre 2 et plus générale que le calcul de Malliavin. Nous présentons un cadre générique pour calculer n'importe quels grecs et présentons plusieurs applications sur différents types de contrats financiers : Options européennes et américaines, Basket Call multidimensionnel et modèles de volatilité stochastique tels que le modèle de Heston. Nous donnons également un algorithme pour calculer les dérivés pour la méthode de Monte Carlo de Longstaff-Schwartz pour les options américaines. Nous étendons également la différenciation automatique pour les dérivés de second ordre des options dont le gain n'est pas deux fois différentiable. 1. Introduction. En raison de la réglementation BASEL III, les banques sont tenues d'évaluer quotidiennement les sensibilités de leurs portefeuilles (évaluation des risques). Certains de ces portefeuilles sont énormes et les sensibilités sont longues à calculer avec précision. Confrontés au problème de la construction d'un logiciel pour cette tâche et se méfiant de la différenciation automatique pour les fonctions non-différentiables, nous nous sommes tournés vers une idée développée par Mike Giles appelée Vibrato. Vibrato est en fait une différenciation d'une combinaison de la méthode du rapport de vraisemblance et de l'évaluation du chemin. Dans Giles [12], [13], il est démontré que le temps de calcul, la stabilité et la précision sont améliorés par rapport à la différenciation numérique du chemin de Monte Carlo complet. Dans de nombreux cas, des sensibilités doubles, c'est-à-dire des dérivées secondes par rapport aux paramètres, sont nécessaires (par exemple, couverture gamma). L'approximation des sensibilités par différence finie est une méthode très simple mais sa précision est difficile à contrôler car elle dépend du choix approprié de l'incrément. La différenciation automatique des programmes informatiques contourne cette difficulté et son coût de calcul est similaire à celui de la différence finie, voire moins cher. Mais en finance, le gain n'est jamais deux fois différentiable et il faut donc utiliser des dérivées généralisées nécessitant des approximations des fonctions de Dirac dont la précision est également douteuse. L'objectif de cet article est d'étudier la faisabilité du Vibrato pour les dérivées secondes et supérieures. Nous allons d'abord comparer le Vibrato appliqué deux fois avec la différenciation analytique du Vibrato et montrer qu'elle est équivalente. Comme la seconde est plus facile, nous proposons le meilleur compromis pour les dérivées secondes : La différenciation automatique du Vibrato. Dans [8], Capriotti a récemment étudié le couplage de différentes méthodes mathématiques - à savoir les méthodes du chemin et du rapport de vraisemblance - avec une différentiation automatique.