Une construction par chemin des systèmes Birth-Death-Swap conduisant à un résultat de moyennage en présence de deux échelles de temps.

Résumé Cet article traite de la modélisation stochastique d'une classe générale de dynamiques de populations hétérogènes structurées par des sous-groupes discrets. Ces processus généralisent les processus classiques de naissances et de décès à plusieurs types d'individus en permettant des événements de permutation, c'est-à-dire des transferts d'un sous-groupe à un autre. La variabilité de l'environnement est également incluse et l'évolution de la population n'est pas markovienne. Nous proposons une nouvelle représentation de la population basée sur sa mesure de saut, caractérisée comme un processus de comptage multivarié avec des conditions de support spécifiques, et qui, avec la population, définit un système Birth-Death-Swap (BDS). Nous prouvons d'abord un résultat général, sur la construction par domination forte de processus de comptage multivariés solutions d'équations différentielles stochastiques pilotées par des mesures de Poisson étendues. Sous des hypothèses plus faibles que d'habitude, on obtient l'existence de systèmes BDS fortement dominés par un processus de Cox-Birth. Cette comparaison par chemin est l'outil principal pour obtenir des résultats d'étanchéité dans la deuxième partie de l'article. Le système BDS en présence de deux échelles de temps est ensuite étudié, lorsque les événements d'échange se produisent à une échelle de temps plus rapide que les événements démographiques. Un résultat général de moyennage pour le processus de comptage démographique est prouvé. Les résultats classiques de moyennage obtenus dans le cas de Markov ne peuvent pas être appliqués ici, et afin de surmonter cette difficulté, nous nous appuyons sur la convergence stable des processus impliqués. Ce mode de convergence est particulièrement bien adapté à notre cadre général. À la limite, la population agrégée devient un processus Naissance-Mort avec des intensités moyennées, résultant d'une agrégation non triviale des intensités de naissance et de mort des sous-groupes.