Estimation statistique de la constante de Poincaré et application à l'échantillonnage de distributions multimodales.

Résumé Les inégalités de Poincaré sont omniprésentes en probabilité et en analyse et ont diverses applications en statistique (concentration de la mesure, taux de convergence des chaînes de Markov). La constante de Poincaré, pour laquelle l'inégalité est serrée, est liée au taux de convergence typique des diffusions vers leur mesure d'équilibre. Dans cet article, nous montrons à la fois théoriquement et expérimentalement que, étant donné un nombre suffisant d'échantillons d'une mesure, nous pouvons estimer sa constante de Poincaré. Comme sous-produit de l'estimation de la constante de Poincaré, nous dérivons un algorithme qui capture une représentation de faible dimension des données en trouvant des directions qui sont difficiles à échantillonner. Ces directions sont d'une importance cruciale pour l'échantillonnage ou dans des domaines comme la dynamique moléculaire, où elles sont appelées coordonnées de réaction. Leur connaissance permet d'exploiter, par une simple étape de conditionnement, les goulots d'étranglement computationnels en utilisant des techniques d'échantillonnage par importance.