Caractérisation de la mesure de probabilité par la fonction d'erreur de quantification L^p.

Résumé Nous établissons des conditions pour caractériser les mesures de probabilité par leurs fonctions d'erreur de quantification L^p dans les cadres R^d et Hilbert. Cette caractérisation est double : statique (identité de deux distributions) et dynamique (convergence pour la distance L^p-Wasserstein). Nous proposons d'abord un critère sur le niveau de quantification N, valable pour toute norme sur Rd et tout ordre p, basé sur une approche géométrique impliquant le diagramme de Voronoï. Ensuite, nous prouvons que dans le cas L^2 sur un espace de Hilbert (séparable), la condition sur le niveau N peut être réduite à N = 2, ce qui est optimal. D'autres cas de caractérisation basés sur la quantification en dimension 1 et une discussion sur la complétude d'une distance définie par la fonction d'erreur de quantification se trouvent à la fin de cet article.