Naissance Mort Échange de population dans un environnement aléatoire et agrégation avec deux échelles de temps.

Résumé Cet article traite de la modélisation stochastique d'une classe de dynamiques de populations hétérogènes dans un environnement aléatoire. Ces populations Birth-Death-Swap généralisent les processus de Markov multi-types Birth-Death, en considérant les événements de swap (déplacements entre sous-groupes) en plus des événements démographiques, et en permettant aux intensités des événements d'être des fonctions aléatoires de la population. La complexité du problème est considérablement réduite en modélisant la mesure des sauts de la population, décrite par un processus de comptage multivarié. Dans l'esprit de Massouli\'e (1998), ce processus est défini comme la solution d'un système différentiel stochastique à coefficients aléatoires, piloté par une mesure aléatoire de Poisson multivariée. La solution est obtenue sous des hypothèses plus faibles que d'habitude, par amincissement d'un processus de points dominants piloté par la même mesure de Poisson. Cette construction clé repose sur un résultat de comparaison générale d'intérêt indépendant. La deuxième partie est consacrée aux résultats de moyennage lorsque les événements de swap sont plus fréquents que les événements démographiques. Un ingrédient important est la convergence stable qui étend naturellement la convergence de la distribution en présence d'un environnement aléatoire. La construction par chemin par domination donne des résultats directs d'étanchéité, en particulier pour le processus de population qui est considéré comme une variable simple sur $\Omega \times \mathbb R^+$. À la limite, les fonctionnelles d'intensité démographique sont moyennées par rapport à des noyaux aléatoires dépendant des événements de swap. Enfin, nous montrons sous une hypothèse naturelle la convergence de la population agrégée vers un "vrai" processus de Naissance-Mort dans un environnement aléatoire avec une dépendance de la densité.