Déconvolution statistique de l'équation libre de Fokker-Planck à temps fixe.

Résumé Nous nous intéressons à la reconstruction de la condition initiale d'une équation aux dérivées partielles (EDP) non linéaire, à savoir l'équation de Fokker-Planck, à partir de l'observation d'un mouvement brownien de Dyson à un instant donné t > 0. L'équation de Fokker-Planck décrit l'évolution de systèmes de particules électrostatiques répulsives, et peut être considérée comme la limite des grandes particules des mouvements browniens de Dyson correctement renormalisés. La solution de l'équation de Fokker-Planck peut être écrite comme la convolution libre de la condition initiale et de la distribution semi-circulaire. Nous proposons un estimateur non paramétrique de la condition initiale obtenu en effectuant la déconvolution libre via la méthode des fonctions de subordination. Cet estimateur statistique est original car il implique la résolution d'une équation à point fixe, et une déconvolution classique par une distribution de Cauchy. Ceci est dû au fait que, en probabilité libre, l'analogue de la transformée de Fourier est la transformée R, liée à la transformée de Cauchy. Dans la littérature antérieure, l'accent a été mis sur l'estimation des conditions initiales des EDP linéaires telles que l'équation de la chaleur, mais à notre connaissance, c'est la première fois que le problème est abordé pour une EDP non linéaire. La convergence de l'estimateur est prouvée et l'erreur quadratique moyenne intégrée est calculée, fournissant des taux de convergence similaires à ceux connus pour les méthodes de déconvolution non-paramétriques. Enfin, une étude de simulation illustre les bonnes performances de notre estimateur.