Le transport optimal entropique entre mesures gaussiennes non équilibrées a une forme fermée.

Résumé Bien que les problèmes de transport optimal (OT) admettent des solutions à forme fermée dans un très petit nombre de cas notables, par exemple en 1D ou entre gaussiens, ces formes fermées se sont avérées extrêmement fécondes pour les praticiens afin de définir des outils inspirés de la géométrie OT. D'autre part, la résolution numérique des problèmes d'OT en utilisant la régularisation entropique a donné lieu à de nombreuses applications, mais parce qu'il n'y a pas de solutions connues sous forme fermée pour les problèmes d'OT régularisés entropiquement, ces approches sont principalement algorithmiques, et non informées par des formes fermées élégantes. Dans cet article, nous proposons de combler le vide à l'intersection entre ces deux écoles de pensée en OT en prouvant que le problème de transport optimal régularisé par l'entropie entre deux mesures gaussiennes admet une forme fermée. Contrairement au cas non régularisé, pour lequel la forme explicite est donnée par la distance de Wasserstein-Bures, la forme fermée que nous obtenons est différentiable partout, même pour des gaussiennes avec des matrices de covariance dégénérées. Nous obtenons cette solution sous forme fermée en résolvant l'équation du point fixe derrière l'algorithme de Sinkhorn, la méthode par défaut pour calculer les OT régularisés entropiques. De façon remarquable, cette approche s'étend au cas de déséquilibre généralisé, où les mesures gaussiennes sont mises à l'échelle par des constantes positives. Cette extension conduit à une expression de forme fermée pour les gaussiennes non équilibrées également, et met en évidence le compromis transport de masse/destruction observé dans le transport optimal non équilibré. De plus, dans les deux cas, nous montrons que les plans de transport optimaux sont des gaussiennes (mises à l'échelle) et nous fournissons des formules analytiques de leurs paramètres. Ces formules constituent les premières formes fermées non triviales pour le transport optimal régularisé par l'entropie, fournissant ainsi une vérité de base pour l'analyse de l'OT entropique et de l'algorithme de Sinkhorn.