Conditions de convexité uniforme locale et globale.

Résumé Nous passons en revue diverses caractérisations de la convexité uniforme et du lissage sur les boules de normes dans les espaces de dimension finie et nous connectons les résultats issus de la géométrie des espaces de Banach avec les \textit{inégalités d'échelle} utilisées dans l'analyse de la convergence des méthodes d'optimisation. En particulier, nous établissons des versions locales de ces conditions afin de fournir un aperçu plus précis d'un ensemble récent de résultats de complexité en théorie de l'apprentissage, en apprentissage en ligne ou en optimisation hors ligne, qui reposent sur la forte convexité de l'ensemble réalisable. Bien qu'elles aient un impact significatif sur la complexité, ces propriétés de forte convexité ou de convexité uniforme des ensembles réalisables ne sont pas exploitées de manière aussi approfondie que leurs équivalents fonctionnels, et ce travail est un effort pour corriger ce déséquilibre. Nous concluons par quelques exemples pratiques en optimisation et en apprentissage automatique où l'exploitation de ces conditions et des hypothèses localisées conduit à de nouveaux résultats de complexité.