Ordre convexe monotone pour les processus McKean-Vlasov.

Résumé Dans cet article, nous établissons l'ordre convexe monotone entre deux processus de McKean-Vlasov à valeurs $\mathbb{R}$ $X=(X_t)_{t\in [0, T]}$ et $Y=(Y_t)_{t\in [0, T]}$ définis sur un espace de probabilité filtré $(\Omega, \mathcal{F}, (\mathcal{F}_{t})_{t\geq0}, \mathbb{P})$ par \begin{align} &dX_{t}=b(t, X_{t}, \mu_{t})dt+\sigma(t, X_{t}, \mu_{t})dB_{t}, \quad X_{0}\in L^{p}(\mathbb{P})\. \text{with}\. p\geq 2,\nonumber\\ &dY_{t}=\beta(t, Y_{t}, \nu_{t})dt+\theta(t, \,Y_{t}, \nu_{t})\,dB_{t}, \,\quad Y_{0}\in L^{p}(\mathbb{P}), \nonumber\end{align} où $\pour tout\, t\in [0, T],\ : \mu_{t}=\mathbb{P}\circuit X_{t}^{-1}, \:\nu_{t}=\mathbb{P}\circuit Y_{t}^{-1}. Si nous faisons l'hypothèse de convexité et de monotonie (seulement) sur $b$ et $|\sigma|$ et si $b\leq \beta$ et $|\sigma|\leq |\theta|$, alors l'ordre convexe monotone pour la variable aléatoire initiale $X_0\preceq_{\,\text{mcv}} Y_0$ peut être propagé à l'ensemble du chemin des processus $X$ et $Y$. Autrement dit, si nous considérons une fonction convexe non décroissante $F$ définie sur l'espace des chemins avec une croissance polynomiale, nous avons $\mathbb{E}\, F(X)\leq \mathbb{E}\, F(Y)$. pour une fonction convexe non décroissante $G$ définie sur l'espace produit impliquant l'espace des chemins et son espace de distribution marginale, on a $\mathbb{E}\, G(X, (\mu_{t})_{t\in [0, T]})\leq \mathbb{E}\, G(Y, (\nu_{t})_{t\in [0, T]})$ sous des conditions appropriées. Le cadre symétrique est également valable, c'est-à-dire que si $Y_0\preceq_{\,\text{mcv}} X_0$ et $|\theta|\leq |\sigma|$, alors $\mathbb{E}\, F(Y)\leq \mathbb{E}\, F(X)$ et $\mathbb{E}\, G(Y, (\nu_{t})_{t\in [0, T]})\leq \mathbb{E}\, G(X, (\mu_{t})_{t\in [0, T]})$. La preuve est basée sur plusieurs principes de programmation dynamique en avant et en arrière et sur la convergence du schéma d'Euler tronqué de l'équation de McKean-Vlasov.