Une nouvelle mesure de risque multivariée : la VaR de Kendall.

Résumé La définition de la Value at Risk multivariée est un problème difficile, dont les solutions les plus courantes sont données par les VaR inférieure et supérieure, qui sont basées sur des copules : la VaR inférieure est en effet le quantile de la fonction de distribution multivariée, tandis que la VaR supérieure est le quantile de la fonction de survie multivariée. Dans cet article, nous présentons une nouvelle approche introduisant une Value at Risk multivariée d'ordre total, appelée Value at Risk de Kendall, qui relie l'approche copule à une définition alternative des quantiles multivariés, connue sous le nom de surface quantile, qui n'est pas utilisée en finance, à notre connaissance. Nous transformons plus précisément la notion de VaR orthante grâce à la fonction de Kendall afin d'obtenir une VaR multivariée ayant des propriétés avantageuses par rapport à la VaR orthante standard : elle est basée sur un ordre total et, pour une fonction de densité non atomique et supportée par Rd, il n'y a plus de distinction entre les VaR d-dimensionnelles basées sur la fonction de distribution ou sur la fonction de survie. Nous quantifions les différences entre cette nouvelle VaR de Kendall et les VaR orthogonales. En particulier, nous montrons que la VaR de Kendall est moins (respectivement plus) conservatrice que la VaR orthante inférieure (resp. orthante supérieure). La définition et les propriétés de la VaR de Kendall sont illustrées en utilisant des copules de Gumbel et de Clayton avec des distributions marginales lognormales et plusieurs niveaux de risque.