Régression non paramétrique et information spatialement inhomogène.

Résumé Nous étudions l'estimation non paramétrique d'un signal basé sur des données bruitées inhomogènes (la quantité de données varie sur le domaine d'estimation). Nous considérons le modèle de régression non paramétrique avec plan aléatoire. Notre objectif est de comprendre les conséquences de l'inhomogénéité des données sur le problème d'estimation dans la configuration minimax. Notre approche est double : locale et globale. Dans la configuration locale, nous voulons récupérer la régression à un point avec peu ou beaucoup de données. En traduisant cette propriété en plusieurs hypothèses sur la densité du plan, nous obtenons une large gamme de nouveaux taux minimax, contenant des taux très lents et très rapides. Ensuite, nous construisons une procédure adaptative de lissage, et nous montrons qu'elle converge avec un taux minimax pénalisé par un coût minimal. Dans la configuration globale, nous voulons récupérer la régression avec une perte de norme sup. Nous proposons des estimateurs qui convergent avec des taux qui sont sensibles au comportement inhomogène de l'information dans le modèle. Nous prouvons l'optimalité spatiale de ces taux, qui consiste en une application de la borne inférieure minimax classique pour la perte sup norm. En particulier, nous construisons un estimateur asymptotiquement net sur les boules de Hölder avec n'importe quelle régularité, et une bande de confiance avec une largeur qui s'adapte à la quantité locale de données.