Interactions et incitations : entre théorie des contrats et jeux à champ moyen.

Résumé Dans cette thèse, nous nous intéressons principalement à trois thèmes de recherche, relativement indépendants, mais néanmoins liés par le fil des interactions et des incitations, comme le souligne l'introduction qui constitue le premier chapitre.Dans la première partie, nous présentons quelques extensions de la théorie des contrats, permettant notamment de considérer une multitude d'acteurs dans des modèles principal-agent, avec contrôle de la dérive et de la volatilité, et sous aléa moral. Plus précisément, le chapitre 2 présente un problème en temps continu d'incitations optimales au sein d'une hiérarchie, inspiré du modèle à une période de Sung (2015), et éclairant à deux égards : d'une part, il introduit un cadre où le contrôle de la volatilité intervient de manière parfaitement naturelle, et d'autre part, il souligne l'importance de considérer les modèles en temps continu. En ce sens, cet exemple motive l'étude complète et générale des modèles hiérarchiques menée dans le chapitre 3, qui va de pair avec la récente théorie des équations différentielles stochastiques du second ordre (2BSDE). Enfin, dans le chapitre 4, nous proposons une extension du modèle principal-agent développé par Aïd, Possamaï et Touzi (2019) à un continuum d'agents, dont les performances sont notamment impactées par un aléa commun. Ces études nous guident notamment vers une généralisation des contrats dits révélateurs, proposés par Cvitanić, Possamaï et Touzi (2018) dans un modèle mono-agent.Dans la partie II, nous présentons deux applications des problèmes principal-agent au domaine de l'énergie. La première, développée dans le chapitre 5, utilise le cadre et les résultats théoriques introduits dans le chapitre précédent, pour améliorer les programmes de réponse à la demande d'électricité, précédemment considérés par Aïd, Possamaï et Touzi (2019). En effet, en prenant en compte le nombre infini de consommateurs qu'un producteur doit alimenter en électricité, il est possible d'utiliser cette information supplémentaire pour construire des incitations optimales, permettant notamment de mieux gérer le risque résiduel impliqué par les aléas climatiques. Dans un second temps, le chapitre 6 propose, à travers un modèle principal-agent avec sélection adverse, une assurance susceptible de prévenir certaines formes de précarité, notamment la précarité énergétique.Enfin, nous concluons cette thèse en étudiant dans la dernière partie un second domaine d'application, à savoir l'épidémiologie, et plus précisément le contrôle de la diffusion d'une maladie contagieuse au sein d'une population. Dans le chapitre 7, nous considérons d'abord le point de vue des individus, à travers un jeu de champ moyen : chaque individu peut choisir son taux d'interaction avec les autres, en équilibrant d'une part son besoin d'interactions sociales et d'autre part sa peur d'être infecté à son tour, et donc de contribuer à la diffusion de la maladie. Nous prouvons l'existence d'un équilibre de Nash entre les individus, et l'illustrons numériquement. Dans le dernier chapitre, nous nous plaçons du point de vue du gouvernement, qui souhaite inciter la population, désormais représentée comme un tout, à diminuer ses interactions afin de contenir l'épidémie. Nous montrons que la mise en place de sanctions en cas de non-respect du confinement peut être efficace, mais que pour un contrôle total de l'épidémie, il est indispensable d'adopter une politique de dépistage approfondie, ainsi qu'un isolement minutieux des individus dont le test est positif Dans cette thèse, nous nous intéressons principalement à trois thèmes de recherche, relativement indépendants, mais néanmoins connexes au travers du fil conducteur des interactions et incitations, comme souligné dans l'introduction constituant le premier chapitre.