Quantification des incertitudes en gestion d'actifs : méthodes à noyaux et fluctuations statistiques.

Résumé Le traitement des incertitudes est un problème fondamental dans le contexte financier, et plus précisément dans l'optimisation de portefeuille. Les variables étudiées sont souvent dépendantes du temps, avec des queues lourdes. Dans cette thèse, nous nous intéressons aux outils permettant de prendre en compte les incertitudes sous ses principales formes : incertitudes statistiques, incertitudes paramétriques et erreur de modèle, tout en gardant à l'esprit que nous souhaitons les appliquer au contexte financier.La première partie est consacrée à l'établissement d'inégalités de concentration pour des variables à distributions à queues lourdes. L'objectif de ces inégalités est de quantifier la confiance que l'on peut accorder à un estimateur basé sur des observations de taille finie. Dans cette thèse, nous établissons de nouvelles inégalités de concentration qui incluent le cas des estimateurs à distribution log-normale.Dans la deuxième partie, nous discutons l'impact de l'erreur de modèle pour l'estimation de la matrice de covariance des rendements boursiers, sous l'hypothèse qu'il existe un processus de covariance instantané entre les rendements dont la valeur actuelle dépend de ses valeurs passées. On peut alors construire explicitement la meilleure estimation de la matrice de covariance pour un temps et un horizon d'investissement donnés, et nous montrons que cette estimation donne la meilleure performance avec une forte probabilité dans le cadre du portefeuille à variance minimale.Dans la troisième partie, nous proposons une approche pour estimer le ratio de Sharpe et l'allocation de portefeuille lorsqu'ils dépendent de paramètres considérés comme incertains. Notre approche implique l'adaptation d'une technique d'approximation stochastique pour le calcul de la décomposition polynomiale de la quantité d'intérêt.Enfin, dans la dernière partie de cette thèse, nous nous concentrons sur l'optimisation de portefeuille avec distribution cible. Cette technique peut être formalisée sans avoir besoin d'hypothèses de modèle sur les rendements. Nous proposons de trouver ces portefeuilles en minimisant les mesures de divergence basées sur les noyaux ou le transport optimal. Puisque ces mesures de divergence peuvent être non bornées et n'ont pas encore été beaucoup étudiées dans le cas des noyaux non bornés, nous établissons de nouvelles garanties de convergence basées sur des inégalités de concentration.