Utilisation de la transformation en ondelettes pour l'analyse de signaux fractals et pour la resolution d'equations aux derivees partielles.

Résumé Ce memoire se compose de deux parties independantes. Dans la premiere partie, nous nous interessons a l'etude d'objets fractals a l'aide de la transformation en ondelettes continue. Nous nous appliquons notamment a etendre aux signaux le formalisme multifractal des mesures singulieres. Le nouveau formalisme obtenu permet d'etudier l'importance relative des differents types de singularites intervenant dans un signal singulier. De nombreuses applications numeriques portant aussi bien sur des signaux generes par ordinateur que sur des signaux experimentaux provenant d'experiences de turbulence pleinement developpee viennent illustrer nos propos. Dans la seconde partie de ce memoire, nous presentons un schema numerique adaptatif en espace et en temps pour la resolution des equations aux derivees partielles. Ce schema est base sur l'utilisation de bases orthogonales d'ondelettes. La structure de multiresolution engendree par de telles bases permet, de facon naturelle, d'adapter la finesse de la grille spatiale d'un schema numerique a la regularite locale de la solution et d'obtenir ainsi un schema adaptatif en espace. Il s'agit pour nous ici d'adapter non seulement la finesse de la grille spatiale mais aussi celle de la grille temporelle afin de concentrer l'effort numerique dans les regions de l'espace ou de fortes singularites apparaissent. Des tests numeriques concernant la stabilite, la complexite et la precision sont effectues sur l'equation de burgers.