Séries temporelles chaotiques appliquées à la finance problèmes statistiques et algorithmiques.

Résumé Notre contribution à l'étude des séries temporelles chaotiques porte sur les points suivants. Nous proposons un cadre d'étude permettant de prendre en compte les apports des différents domaines scientifiques traitant de ce type de données : traitement du signal, systèmes dynamiques, théorie ergodique, finance et statistiques. Nous précisons la notion d'exposant de Lyapunov global à l'aide de plusieurs définitions, de la plus formelle à la plus usitée. Nous montrons pourquoi les exposants de Lyapunov globaux sont utiles pour caractériser un chaos mais pratiquement inutiles lorsqu'il s'agit de faire des prévisions. On s'intéresse alors aux exposants de Lyapunov locaux. On montre comment chaque définition est reliée aux exposants de Lyapunov globaux et on précise dans quel cadre applicatif chaque définition est pertinente. On donne un résultat nouveau concernant la distribution des exposants de Lyapunov locaux. Nous considérons les méthodes de prévisions non-paramétriques utilisables dans ce contexte en en détaillant deux qui semblent particulièrement adaptées aux chaos : les plus proches voisins et les fonctions radiales. Ce dernier estimateur fait l'objet d'une étude plus approfondie. On précise ses propriétés et on donne un algorithme pour le mettre en œuvre. Nous étudions la prédictibilité des séries temporelles chaotiques. On montre comment l'horizon de prédiction est relié aux exposants de Lyapunov locaux du système. On propose une approche théorique nouvelle pour traiter le cas des chaos bruités. On s'intéresse au problème du choix d'un pas d'échantillonnage pour les séries chaotiques issues d'un système en temps continu. On donne un résultat nouveau permettant de choisir un pas d'échantillonnage optimal au sens de l'horizon de prédiction. Nous étayons ces présentations d'un ensemble de simulations à partir de chaos connus en précisant leurs couts algorithmiques. On discute les problèmes posés par la simulation des séries temporelles chaotiques. Enfin, nous donnons deux applications des outils développés dans le cadre des séries financières infra-journalières. La première application est une illustration directe de ces outils dans le cas des taux de change. La seconde application fait préalablement appel aux méthodes de déformation du temps qui sont présentées ici dans un cadre unifié nouveau.