Étude de quelques problèmes variationnels intervenant en géométrie riemannienne et en économie mathématique.

Résumé Dans la première partie de cette thèse, nous prouvons une version faible de la conjecture suivante, formulée en 1983 par Hildebrandt : en dimension 2, les applications qui sont points critiques d'une fonctionnelle invariante par difféomorphisme conforme sont régulières. Nous montrons la régularité de telles applications, pourvu qu'elles soient a priori bornées. Ce résultat étend le théorème de F. Helein sur la régularité des applications harmoniques à valeurs dans une variété riemannienne compacte sans bord. Les problèmes variationnels étudiés dans la seconde partie sont motivés par des questions économiques. Ils consistent en la maximisation de certaines fonctionnelles sur le cône des fonctions convexes. Nous donnons une condition suffisante pour que la contrainte de convexité soit active. Cette condition, qui fait notamment intervenir la géométrie du domaine, est vérifiée dans des situations très courantes en économie. Typiquement en dimension 2, il existe une région où le rang de la hessienne de la solution est 1. Nous écrivons les équations d'Euler du problème en faisant intervenir des opérateurs dits de "balayage". Nous expliquons comment utiliser les conditions de balayage pour construire la solution du problème. Cette construction nécessite toutefois une certaine connaissance préalable de la forme de la solution. Ceci nous conduit à étudier le problème de l'approximation numérique de la solution : toute la difficulté consiste à déterminer les directions dans lesquelles la contrainte de convexité est saturée. Nous explorons diverses méthodes d'éléments finis et montrons que les plus simples d'entre elles se heurtent à une obstruction théorique sérieuse.