Étude de quelques problèmes d'estimation statistique en finance.

Résumé Cette thèse traite plusieurs problèmes de finance statistique et se compose de quatre parties. Dans la première partie, on étudie la question de l'estimation de la persistance de la volatilité à partir d'observations discrètes d'un modèle de diffusion sur un intervalle [0,T], où T est un temps objectif fixé. Pour cela, on introduit un mouvement brownien fractionnaire d'indice de Hurst H dans la dynamique de la volatilité. On construit une procédure d'estimation du paramètre H à partir des données haute fréquence de la diffusion. On montre que la précision de notre estimateur est n^{-1/(4H+2)}, où n est la fréquence d'observation et on prouve son optimalité au sens minimax. Ces considérations théoriques sont suivies d'une étude numérique sur données simulées et données financières. La seconde partie de la thèse traite de la problématique du bruit de microstructure. Pour cela, on considère les observations à la fréquence n et avec erreur d'arrondi α_n tendant vers zéro, d'un modèle de diffusion sur un intervalle [0,T], où T est un temps objectif fixé. On propose dans ce cadre des estimateurs de la volatilité intégrée de l'actif dont on montre que la précision est max(α_n, n^{-1/2}). On obtient par ailleurs des théorèmes centraux limites dans le cas de diffusions homogènes. Cette étude théorique est ici aussi suivie d'une étude numérique sur données simulées et données financières. On établit dans la troisième partie de cette thèse une caractérisation simple des espaces de Besov et on l'utilise pour démontrer de nouvelles propriétés de régularité pour certains processus stochastiques. Cette partie peut paraître déconnectée des problèmes de finance statistique mais a été inspiratrice pour la partie 4 de la thèse. On construit dans la dernière partie de la thèse un nouvel indice de bruit de microstructure et on l'étudie sur des données financières. Cet indice, dont le calcul se base sur les p-variations de l'actif considéré à différentes échelles de temps, peut être interprété en terme d'espaces de Besov. Comparé aux autres indices, il semble posséder plusieurs avantages. En particulier, il permet de mettre en évidence des phénomènes originaux comme une certaine forme de régularité additionnelle dans les échelles les plus fines. On montre que ces phénomènes peuvent être partiellement reproduits par des modèles de bruit de microstructure additif ou de diffusion avec erreur d'arrondi. Néanmoins, une reproduction fidèle semble nécessiter soit une combinaison de deux formes d'erreur, soit une forme sophistiquée d'erreur d'arrondi.