Normes structurées induisant la sparsité : propriétés statistiques et algorithmiques avec applications à la neuro-imagerie.

Résumé De nombreux domaines issus de l’industrie et des sciences appliquées ont été les témoins d’une révolution numérique. Cette dernière s’est accompagnée d’une croissance du volume des données, dont le traitement est devenu un défi technique. Dans ce contexte, la parcimonie est apparue comme un concept central en apprentissage statistique. Il est en effet naturel de vouloir exploiter les données disponibles via un nombre réduit de paramètres. Cette thèse se concentre sur une forme particulière et plus récente de parcimonie, nommée parcimonie structurée. Comme son nom l’indique, nous considérerons des situations où, au delà de la seule parcimonie, nous aurons également à disposition des connaissances a priori relatives à des propriétés structurelles du problème. L’objectif de cette thèse est d'analyser le concept de parcimonie structurée, en se basant sur des considérations statistiques, algorithmiques et appliquées. Nous commencerons par introduire une famille de normes structurées parcimonieuses dont les aspects statistiques sont étudiées en détail. Nous considérerons ensuite l’apprentissage de dictionnaires, où nous exploiterons les normes introduites précédemment dans un cadre de factorisation de matrices. Différents outils algorithmiques efficaces, tels que des méthodes proximales, seront alors proposés. Grâce à ces outils, nous illustrerons sur de nombreuses applications pourquoi la parcimonie structurée peut être bénéfique. Ces exemples contiennent des tâches de restauration en traitement de l’image, la modélisation hiérarchique de documents textuels, ou encore la prédiction de la taille d’objets à partir de signaux d’imagerie par résonance magnétique fonctionnelle.