Contrôle stochastique par méthodes de quantification et applications à la finance.

Résumé Cette thèse contient trois parties qui peuvent être lues indépendamment. Dans la première partie, nous étudions la résolution de problèmes de contrôle stochastique par des méthodes de quantification. La quantification consiste à trouver la meilleure approximation d'une distribution de probabilité continue par une loi de probabilité discrète avec un nombre N de points supportant cette distribution. Nous explicitons un cadre de programmation dynamique "générique" qui permet de résoudre de nombreux problèmes de contrôle stochastique, tels que les problèmes de temps d'arrêt optimal, de maximisation de l'utilité, d'équations différentielles stochastiques à rebours (BSDE), de problèmes de filtrage... Dans ce contexte, nous donnons trois schémas de discrétisation dans l'espace associés à la quantification d'une chaîne de Markov. Dans la deuxième partie, nous présentons un schéma numérique pour les BSDEs doublement réfléchies. Nous considérons un cadre général qui contient des sauts et des processus progressifs dépendant du chemin. Nous utilisons un schéma d'approximation de type Euler en temps discret. Nous prouvons la convergence de ce schéma pour les EDSB lorsque le nombre de pas de temps n tend vers l'infini. Nous donnons également la vitesse de convergence pour les options de jeu. Dans la troisième partie, nous nous concentrons sur la réplication des dérivés sur la variance réalisée. Nous proposons une couverture robuste au modèle de volatilité avec des positions dynamiques sur les options européennes. Ensuite, nous étendons cette méthodologie aux options de fonds et au processus de saut.