Sur l’inférence statistique pour des processus spatiaux et spatio-temporels extrêmes.

Résumé Les catastrophes naturelles comme les canicules, les tempêtes ou les précipitations extrêmes, proviennent de processus physiques et ont, par nature, une dimension spatiale ou spatiotemporelle. Le développement de modèles et de méthodes d'inférences pour ces processus est un domaine de recherche très actif. Cette thèse traite de l'inférence statistique pour les événements extrêmes dans le cadre spatial et spatio-temporel. En particulier, nous nous intéressons à deux classes de processus stochastique: les processus spatiaux max-mélange et les processus max-stable spatio-temporels. Nous illustrons les résultats obtenus sur des données de précipitations dans l'Est de l'Australie et dans une région de la Floride aux Etats-Unis. Dans la partie spatiale, nous proposons deux tests sur le paramètre de mélange a d'un processus spatial max-mélange: le test statistique Za et le rapport de vraisemblance par paire LRa. Nous comparons les performances de ces tests sur simulations. Nous utilisons la vraisemblance par paire pour l'estimation. Dans l'ensemble, les performances des deux tests sont satisfaisantes. Toutefois, les tests rencontrent des difficultés lorsque le paramètre a se situe à la frontière de l'espace des paramètres, i.e., a ∈ {0,1}, dues à la présence de paramètre de “nuisance” qui ne sont pas identifiés sous l'hypothèse nulle. Nous appliquons ces tests dans le cadre d'une analyse d'excès au delà d'un grand seuil pour des données de précipitations dans l'Est de l'Australie. Nous proposons aussi une nouvelle procédure d'estimation pour ajuster des processus spatiaux max-mélanges lorsqu'on ne connait pas la classe de dépendance extrêmal. La nouveauté de cette procédure est qu'elle permet de faire de l'inférence sans spécifier au préalable la famille de distributions, laissant ainsi parle les données et guider l'estimation. En particulier, la procédure d'estimation utilise un ajustement par la méthode des moindres carrés sur l'expression du Fλ-madogramme d'un modèle max-mélange qui contient les paramètres d'intérêt. Nous montrons la convergence de l'estimateur du paramètre de mélange a. Une indication sur la normalité asymptotique est donnée numériquement. Une étude sur simulation montrent que la méthode proposée améliore les coefficients empiriques pour la classe de modèles max-mélange. Nous implémentons notre procédure d'estimations sur des données de maximas mensuels de précipitations en Australie dans un but exploratoire et confirmatoire. Dans la partie spatio-temporelle, nous proposons une méthode d'estimation semi-paramétrique pour les processus max-stables spatio-temporels en nous basant sur une expression explicite du F-madogramme spatio-temporel. Cette partie permet de faire le pont entre la géostatistique et la théorie des valeurs extrêmes. En particulier, pour des observations sur grille régulière, nous estimons le F-madogramme spatio-temporel par sa version empirique et nous appliquons une procédure basée sur les moments pour obtenir les estimations des paramètres d'intérêt. Nous illustrons les performances de cette procédure par une étude sur simulations. Ensuite, nous appliquons cette méthode pour quantifier le comportement extrêmal de maximum de données radar de précipitations dans l'Etat de Floride. Cette méthode peut être une alternative ou une première étape pour la vraisemblance composite. En effet, les estimations semi-paramétriques pourrait être utilisées comme point de départ pour les algorithmes d'optimisation utilisés dans la méthode de vraisemblance par paire, afin de réduire le temps de calcul mais aussi d'améliorer l'efficacité de la méthode.