Contributions théoriques aux méthodes de Monte Carlo, et applications aux statistiques.

Résumé La première partie de cette thèse concerne l'inférence de modèles statistiques non normalisés. Nous étudions deux méthodes d'inférence basées sur de l'échantillonnage aléatoire : Monte-Carlo MLE (Geyer, 1994), et Noise Contrastive Estimation (Gutmann et Hyvarinen, 2010). Cette dernière méthode fut soutenue par une justification numérique d'une meilleure stabilité, mais aucun résultat théorique n'avait encore été prouvé. Nous prouvons que Noise Contrastive Estimation est plus robuste au choix de la distribution d'échantillonnage. Nous évaluons le gain de précision en fonction du budget computationnel. La deuxième partie de cette thèse concerne l'échantillonnage aléatoire approché pour les distributions de grande dimension. La performance de la plupart des méthodes d’échantillonnage se détériore rapidement lorsque la dimension augmente, mais plusieurs méthodes ont prouvé leur efficacité (e.g. Hamiltonian Monte Carlo, Langevin Monte Carlo). Dans la continuité de certains travaux récents (Eberle et al., 2017 . Cheng et al., 2018), nous étudions certaines discrétisations d’un processus connu sous le nom de kinetic Langevin diffusion. Nous établissons des vitesses de convergence explicites vers la distribution d'échantillonnage, qui ont une dépendance polynomiale en la dimension. Notre travail améliore et étend les résultats de Cheng et al. pour les densités log-concaves.