Exploitation de la régularisation, des projections et des distributions elliptiques dans le transport optimal.

Résumé Pouvoir manipuler et de comparer de mesures de probabilité est essentiel pour de nombreuses applications en apprentissage automatique. Le transport optimal (TO) définit des divergences entre distributions fondées sur la géométrie des espaces sous-jacents : partant d'une fonction de coût définie sur l'espace dans lequel elles sont supportées, le TO consiste à trouver un couplage entre les deux mesures qui soit optimal par rapport à ce coût. Par son ancrage géométrique, le TO est particulièrement bien adapté au machine learning, et fait l'objet d'une riche théorie mathématique. En dépit de ces avantages, l'emploi du TO pour les sciences des données a longtemps été limité par les difficultés mathématiques et computationnelles liées au problème d'optimisation sous-jacent. Pour contourner ce problème, une approche consiste à se concentrer sur des cas particuliers admettant des solutions en forme close, ou pouvant se résoudre efficacement. En particulier, le TO entre mesures elliptiques constitue l'un des rares cas pour lesquels le TO admet une forme close, définissant la géométrie de Bures-Wasserstein (BW). Cette thèse s'appuie tout particulièrement sur la géométrie de BW, dans le but de l'utiliser comme outil de base pour des applications en sciences des données. Pour ce faire, nous considérons des situations dans lesquelles la géométrie de BW est tantôt utilisée comme un outil pour l'apprentissage de représentations, étendue à partir de projections sur des sous-espaces, ou régularisée par un terme entropique. Dans une première contribution, la géométrie de BW est utilisée pour définir des plongements sous la forme de distributions elliptiques, étendant la représentation classique sous forme de vecteurs de R^d. Dans une deuxième contribution, nous prouvons l'existence de transports qui extrapolent des applications restreintes à des projections en faible dimension, et montrons que ces plans "sous-espace optimaux" admettent des formes closes dans le cas de mesures gaussiennes. La troisième contribution de cette thèse consiste à obtenir des formes closes pour le transport entropique entre des mesures gaussiennes non-normalisées, qui constituent les premières expressions non triviales pour le transport entropique. Finalement, dans une dernière contribution nous utilisons le transport entropique pour imputer des données manquantes de manière non-paramétrique, tout en préservant les distributions sous-jacentes.