Évaluation des Modèles Mathématiques en Finance

Pouvez-vous nous éclairer sur les raisons qui ont poussé le conseil scientifique de l’Initiative de Recherche à se saisir de la question de la formation des quants ?

La Value at Risk, ou VaR, est certainement la mesure de risque la plus communément utilisée dans l’industrie financière. C’est en effet un concept très simple, qui, pour un portefeuille donné, un horizon de temps donné, et un seuil p, donne le niveau de perte qui ne devrait être dépassé que (1­p) % du temps. Nonobstant ses défauts notables (notamment l’absence de sous-additivité), la VaR est centrale en gestion des risques et joue un rôle majeur dans la détermination du capital réglementaire.

Gestion de portefeuilles, gestion des risques, pricing d’options sur plusieurs sous-jacents, … en finance, les corrélations sont omniprésentes. Mais sont-elles bien estimées ? Les chiffres obtenus sont-ils bien analysés ? Les concepts utilisés par les financiers sont-ils les meilleurs ? Pour répondre à ces questions, une revue de la littérature sur les mesures de dépendance a été menée durant plusieurs mois et de nombreux praticiens interviewés.

Que ce soit en finance, en statistiques ou en génomique, estimer la corrélation, ou plus généralement la structure de dépendance entre plusieurs variables aléatoires est essentielle. Mais pour mesurer cette structure de dépendance, il faut d’abord la définir. Car si l’on parle de corrélation, la majorité des gens entendra corrélation linéaire, autrement nommée corrélation de Pearson, et définie dans le cas de deux variables aléatoires comme la covariance des variables divisée par leur écart type respectif.

De manière générale, on caractérise la structure de dépendance entre deux variables par une fonction appelée copule. Mais cette copule n’est pas une mesure simple puisqu’il s’agit d’une fonction et non d’un nombre. A partir de cette copule, on définit donc des statistiques plus simples comme le rho [mettre la lettre grecque ici] de Spearman (c’est-à-dire la corrélation des rangs), le tau [mettre la lettre grecque ici] de Kendall, les statistiques de Goodman et Kruskal ou des mesures de dépendances de queue qui servent à appréhender les risques extrêmes. Ces statistiques, si elles sont plus rarement utilisées que la corrélation linéaire, ont le mérite de n’être fonction que de la structure de dépendance entre les variables et non de leurs lois marginales respectives.

Ce n’est pas le cas de la corrélation linéaire et cela a des conséquences souvent ignorées des praticiens. Ainsi, la corrélation (linéaire) entre deux variables est souvent comparée à -1 ou 1 alors même que les bornes maximales et minimales dépendent des lois respectives des deux variables et peuvent être plus proches de 0 que de -1 ou 1. Ces habitudes viennent évidemment du cadre gaussien pour lequel la corrélation résume à elle seule la structure de dépendance et varie entre -1 et 1.

Si, malgré sa capacité à ne mesurer que des dépendances linéaire, la corrélation de Pearson intervient partout en finance, c’est du fait de l’omniprésence de la variance comme mesure de risque. Dès lors, l’estimation précise d’un coefficient de corrélation ou d’une matrice de corrélation est primordiale.

La modélisation financière des dérivés de crédit est apparue, avec la crise des subprimes, comme l’un des échecs majeurs des mathématiques financières en ce début de siècle. Malgré la disparition du marché, une analyse « post-mortem » des modèles pour la gestion des portefeuilles de dérivés de crédit et notamment pour le pricing de CDO synthétiques a été menée afin de tirer des enseignements des erreurs commises… pour l’avenir.

Avec l’émergence des dérivés de crédit multiname (tels les CDO) et leur présence de plus en plus importante dans les livres des banques à la fin des années 90 et au début des années 2000, de nombreux modèles de « pricing » sont apparus dans la littérature académique. Historiquement, les modèles initialement proposés dans la littérature étaient inspirés de ceux utilisés pour les obligations présentant un risque de défaut. Ce furent soit des modèles centrés sur la dynamique des intensités de défaut, soit des modèles dits structurels – inspirés de Merton et de ses options réelles. Les premières approches à intensité de défaut (intensity-based models) ont très vite été critiquées car elles ne permettaient pas d’obtenir une corrélation suffisamment grande entre les défauts des différents sous-jacents¹. Quant aux approches structurelles (par nature dynamiques), elles ont abouti au célèbre modèle de Li, modèle à la base des modèles à copules² utilisées par les praticiens… jusqu’à la disparition du marché.

Le modèle de Li (ou modèle de la copule gaussienne à 1 facteur) consiste à modéliser la survenance d’un défaut à travers le franchissement d’un seuil par une variable aléatoire gaussienne (dite latente) ; les variables latentes des différents sous-jacents étant corrélées deux à deux à un même niveau de corrélation rho. Le succès du modèle de Li tient d’abord au fait que, s’agissant d’un modèle à copules, on peut calibrer d’abord les paramètres propres à chacun des sous-jacents, puis le paramètre rho, appelé abusivement corrélation, résumant de manière frustre la structure de dépendance entre les défauts. Il tient ensuite et surtout au parallèle fait avec le modèle de Black et Scholes pour les options ; parallèle abusif sur lequel nous reviendrons.

L’utilisation du modèle de la copule gaussienne à 1 facteur a évolué au cours du temps. La calibration du paramètre de corrélation rho a d’abord été faite, dans le cas d’un CDO synthétique sur iTraxx ou CDX, tranche par tranche (c’est la compound correlation). Toutefois, l’impossibilité de calibrer le modèle aux spreads de marché ou, à l’inverse, l’existence de plusieurs paramètres de corrélation compatibles avec les spreads de marché a fait évoluer les pratiques (sans parler des arbitrages et des difficultés à traiter dans ce cadre des tranches non standards). La calibration de la corrélation s’est en effet par la suite faite uniquement sur des tranches de type equity, une tranche mezzanine étant alors vue comme la différence de deux tranches equity. Cette approche (dite base correlation) garantit l’unicité du paramètre rho. Néanmoins, elle a rapidement été critiquée lorsqu’il n’existait pas de paramètre de corrélation à même d’aboutir à la calibration aux spreads de marché. Aussi, à l’instar du smile de volatilité pour les options, l’existence d’un correlation skew a motivé la recherche de nouveaux modèles. Des articles ont montré que l’utilisation d’une copule double-t ou d’une copule NIG (Normal Inverse Gaussian) permettait de réduire le correlation skew. D’autres copules ont été proposées comme la copule de Student, des copules archimédiennes ou la copule de Marshall-Olkin. Aussi, des approches à corrélation stochastique ou à corrélation locale ont été proposées. Enfin, notamment pour obtenir des modèles applicables aux tranches senior et super-senior, l’hypothèse d’un taux de recouvrement constant (arbitrairement supposé égal à 40%) a été abandonnée et des modèles à taux de recouvrement variable ou stochastique ont été proposés.

Le modèle de la copule gaussienne à 1 facteur est resté l’une des références majeures dans les salles de marché et les praticiens parlent volontiers d’un modèle faisant consensus. A l’instar du modèle de Black et Scholes grâce auquel on peut comparer les prix d’options très différentes via les volatilités implicites qui découlent des prix, les praticiens ont apprécié le fait de pouvoir coter des tranches de CDOs très diverses grâce à un unique paramètre : le paramètre de corrélation rho de la copule gaussienne. Or, la copule gaussienne est connue pour ne pas permettre de dépendance de queue. Aussi, n’utiliser qu’un facteur pour modéliser plus de 100 sous-jacents est une approximation très discutable. Enfin, et surtout, un parallèle avec le modèle de Black et Scholes a été fait en matière de gestion de portefeuille et de couverture alors même que le marché des dérivés de crédit est par essence un marché très incomplet³.

Le modèle de Black et Scholes est en effet abusivement considéré comme un modèle de pricing mais c’est, rappelons-le, un modèle de coût : un modèle donnant le coût de réplication (c’est-à-dire de production) d’un produit ayant un payoff donné. Le fait que ce coût soit aussi le prix de l’option vient ensuite, par exemple, de l’hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage. Dans le modèle de Black et Scholes, comme dans tous les modèles de marché complet, la couverture et le pricing sont par essence les deux faces d’une même pièce : la couverture contre le risque de prix du ou des sous-jacents coûte le prix du produit. Cette logique ne saurait évidemment être à l’œuvre pour des dérivés de crédit multiname tant le nombre de risques qui ne sauraient être couverts est grand. Dès lors, les modèles proposés dans la littérature sont des modèles calibrés sur des prix (en pratique sur des spreads) et non des modèles de pricing. Surtout, leur utilisation en matière de couverture est infondée et se révèle en pratique particulièrement hasardeuse, ce qu’ont montré les très rares articles traitant de la couverture en sus du « pricing ». Un portefeuille de dérivés de crédit multiname couvert contre le risque de corrélation dans un modèle de type copule à 1 facteur, et potentiellement contre d’autres risques, reste particulièrement exposé au risque… de modèle ! Un risque trop souvent négligé.

L’échec majeur des analystes quantitatifs eu égard aux CDOs et la défiance envers les modèles qui s’en est suivie ne viennent pourtant pas du manque de sophistication des modèles⁴. Il faut plutôt blâmer les erreurs faites dans l’interprétation des modèles, apprendre la leçon des parallèles infondés faits avec le modèle de Black et Scholes, et revenir au B.A.BA économique : lorsqu’un actif n’est pas réplicable, son payoff n’est pas intrinsèquement associé à un prix et la couverture ne peut être que partielle. En ce sens le cas des options (même si le modèle de Black et Scholes est évidemment une approximation) est l’exception et non la règle. La formation des analystes quantitatifs, centrée partout dans le monde sur le pricing d’options, a certainement joué un rôle majeur dans les erreurs commises.

Aussi complexes soient-ils, des modèles, dits de « pricing », calibrés sur des prix de marché, ne peuvent pas permettre de gérer des portefeuilles de produits complexes en marché incomplet avec succès. Une approche financière, de gestion de portefeuille, et donc de gestion des risques, se révèle indispensable.

1. Des modèles plus récents avec processus d’intensité AJD ont montré de meilleurs résultats.

2. En théorie des probabilités, la loi jointe d’un ensemble de n variables aléatoires peut être décrite par les n lois marginales des variables aléatoires sous-jacentes auxquelles on adjoint une fonction, appelée copule, caractérisant la dépendance entre ces variables aléatoires.

3. cf. l’incapacité en pratique à couvrir des risques tels que le jump to default ou la valeur du taux de recouvrement.

4. Il est à noter que la littérature académique a proposé de nombreux modèles autres que les modèles cités ci-dessus, comme des modèles de contagion ou des modèles top down.

Les modèles mathématiques couramment utilisés par les banques ont été développés dans une période de liquidité abondante et correspondent donc à une représentation simpliste de la réalité. Le but de cette étude est de réaliser un inventaire critique de notre compréhension du concept de liquidité, en confrontant les théories économiques à l’expérience accumulée des praticiens. Nos modèles sont-ils taillés pour expliquer l’instabilité chronique de la liquidité ?

Une caractéristique essentielle de la liquidité bancaire est son caractère profondément instable. Celle-ci peut connaître une succession d’états. Elle connait bien sûr, la plupart du temps, des états de relatif équilibre. Elle a alors un coût, celui de renoncer pendant une période donnée à un actif, coût mesuré par la différence de prix, à qualité de risque comparable, entre actifs très liquides et actifs moins liquides. Ce prix de la liquidité détermine les quantités échangées. En d’autres termes, la liquidité s’échange comme un bien économique quelconque.

Elle connaît aussi des états extrêmes, d’abondance et de pénurie, qui se sont succédés durant les quinze dernières années. Ainsi, et jusqu’à ce que la crise de 2007 se concrétise, a dominé une impression de liquidité abondante et presque gratuite. Jusqu’au début des années 2000, la liquidité — mesurée par exemple par le spread Euribor contre swap EONIA — ne valait quasiment rien jusqu’à un à deux ans et restait peu onéreuse au-delà (jusqu’à 30 bp à 10 ans, par exemple). Elle était également très peu volatile et s’échangeait entre tous les acteurs, sans discrimination significative. 

Cet état d’abondance a duré plus de vingt ans et a eu un certain nombre de conséquences, tant sur la gestion des banques que sur l’organisation du marché. Il conférait d’abord un rôle distinct aux grandes banques systémiques. Leur taille pouvait leur permettre de faire circuler la liquidité d’un point à un autre du globe sans coût de frottement. Les devises étaient ainsi parfaitement fongibles. On pouvait, via l’utilisation de dérivés — eux aussi liquides — emprunter sur le marché américain du dollar à 18 mois pour le ramener en euro au jour le jour. Ces grandes banques étaient, par ailleurs, presque les seules à emprunter à la BCE, bien qu’elles étaient liquides. Tant qu’elles étaient excédentaires en liquidité, les banques systémiques la redistribuaient.

Une autre conséquence significative de l’abondance de liquidités fut de permettre aux grandes banques de financer à bon compte un certain nombre d’activités de marché, notamment celles d’arbitrages pour compte propre. Des actifs auxquels il aurait fallu adosser des financements longs étaient ainsi financés à court terme. On peut parler d’un business model d’arbitrage de liquidité qui n’était entravé ni par la réglementation, ni par le prix de la liquidité. A ceci s’ajoute le développement des activités de titrisation qui ont permis un accroissement du levier des banques, via le hors-bilan.

Cette situation est assez bien comprise par la théorie économique qui parle de compromis entre liquidité et levier. Rappelons que le rôle traditionnel des banques est de financer des actifs risqués et illiquides via des dépôts non risqués et liquides. C’est le modèle désormais classique développé par Bryant (1980) et Diamond & Dybvig (1983). Cette transformation du risque est la cause de la fragilité inhérente du système bancaire et la justification de sa régulation. Ainsi, par exemple, du concept de « too big to fail » dont le rôle est de prévenir les paniques bancaires. Il est rationnel pour les banques, conscientes que les banques centrales fourniront des liquidités en cas de crise, d’avoir un levier élevé, aux dépends de sa liquidité. Plus précisément, face à un accroissement du levier chez ses concurrents, la « meilleure réponse » d’une banque consiste à augmenter, elle aussi, son levier (Tirole, 2011). S’ensuit, via la concurrence entre banques, une spirale qui peut les conduire à engager des risques excessifs et en même temps à provoquer un tarissement de la liquidité, au niveau des banques puis du marché. 

C’est un lent tarissement qui commence en 2001, après les attentats. Au préalable, notons que la plupart des banques systémiques, qui fournissaient largement le marché en liquidité dans les années 80, sont alors majoritairement déficitaires en liquidités. En cause, le développement des SICAV et de l’assurance-vie — qui remplacèrent par exemple l’épargne intermédiée bancaire — et surtout la hausse conséquente et endogène des prix immobiliers. Le 11 septembre, les systèmes de règlement interbancaires se bloquèrent suite à l’effondrement des tours, interdisant les échanges de liquidité entre banques. Des accords de swaps entre banques centrales puis la reprise du clearing restaurèrent ensuite la liquidité. Mais la croyance en la fongibilité des devises fut rompue.

Malgré l’instauration de limites en devises et un suivi plus strict de leur liquidité, les banques ne tirèrent que partiellement la leçon du 11 septembre. Et pour cause : toute réduction du levier aurait été sanctionnée en termes de part de marché. Avec l’effondrement des bourses, les liquidités ont continué à abonder, alimentées par des politiques accommodantes des banques centrales. Les taux courts restant faibles, les banques ont poursuivi leurs politiques de levier, qui ont logiquement réduit leur liquidité. Ainsi le faible coût de la liquidité a alimenté la disparition de cette même liquidité. A ceci s’ajouta l’introduction de Bâle 2 qui renchérit le coût des prêts interbancaires. 

Ce lent tarissement est brusquement interrompu par la crise de 2007 qui a provoqué un assèchement de la liquidité en portant l’attention sur la solvabilité des contreparties, après la faillite de Lehman. Si le passage de l’abondance à la pénurie s’est produit de façon absolument brusque, il faut noter que cette rupture a pu être partiellement anticipée. Un certain nombre de signes avant coureurs — un changement de comportement chez des prêteurs de banques privées, les craintes concernant le marché immobilier américain — étaient accessibles aux grandes banques qui avaient à la fois la taille et l’organisation permettant de collecter et d’analyser une information souvent « privilégiée ». 

C’est la capacité d’analyser une grande quantité d’information qui distingue aujourd’hui les banques systémiques, qui sont souvent capables de prévoir les variations de liquidité. L’information, autrefois secondaire, est aujourd’hui décisive sur le marché monétaire. Celui-ci est aujourd’hui caractérisé par un régime d’instabilité. Seuls les money market funds interviennent sur le marché monétaire, à présent porté à bout de bras par les banques centrales. La discrimination entre acteurs de marché et la volatilité sont réapparues : il semble que risque de crédit et risque de liquidité soient de plus en plus indissociables. 

Trois notions économiques éclairent de façon complémentaire ce nouveau régime de la liquidité. D’abord, le concept classique de panique bancaire, c’est à dire de « course aux guichets » auto-réalisatrice, peut se généraliser au marché interbancaire. Brunnermeier (2009) a montré que n’importe quel marché qui avantage les premiers retraits de fonds pouvait être caractérisé par une telle course. Ensuite, la notion d’antisélection : quand il est impossible de différencier les banques solvables des autres, les banques de bonne qualité se retirent du marché. A nouveau, un simple doute sur la solidité des banques peut suffire à provoquer la disparition du marché monétaire¹. Enfin, le concept d’épargne de précaution peut expliquer le comportement de certaines banques qui, trop prudentes, précipitent l’effondrement du marché².

A noter que ces théories sont capables, dans une certaine mesure, d’expliquer le caractère prédictible des crises de liquidité. La théorie économique demeure cependant balbutiante, s’agissant d’interroger les interactions entre ces différents concepts. Reste ainsi à améliorer l’intégration entre microéconomie et macroéconomie. La régulation microéconomique des banques doit être en mesure de quantifier ses propres effets macroéconomiques, de mêmes que les modèles macroéconomiques ne peuvent plus ignorer des phénomènes microéconomiques tels que l’antisélection. La théorie économique offre néanmoins un certain nombre de concepts dont les banques — qui intègrent à présent le coût de la liquidité dans leurs modèles — pourraient tirer profit.