BION NADAL Jocelyne

Dans cet article, nous introduisons une distance de type Wasserstein sur l'ensemble des distributions de probabilité des solutions fortes des équations différentielles stochastiques. Cette nouvelle distance est définie en restreignant l'ensemble des mesures de couplage possibles. Nous prouvons qu'elle peut également être définie au moyen de la fonction de valeur d'un problème de contrôle stochastique dont l'équation de Hamilton-Jacobi- Bellman a une solution lisse, ce qui permet de déduire des estimations a priori ou d'obtenir des évaluations numériques. Nous exposons une mesure de couplage optimale et la caractérisons comme une solution faible d'une équation différentielle stochastique explicite, et nous décrivons enfin des procédures pour approximer cette mesure de couplage optimale. Une application notable concerne le problème de modélisation suivant : étant donné un modèle de diffusion exact, comment sélectionner un modèle de diffusion simplifié dans une classe de modèles admissibles sous la contrainte que la distribution de probabilité du modèle exact soit préservée autant que possible ?

Nous proposons de nouvelles notions de solutions régulières et de solutions de viscosité pour les équations aux dérivées partielles du second ordre dépendant du chemin. En utilisant l'approche du problème des martingales pour les processus de diffusion dépendant du chemin, nous construisons explicitement des familles de mesures de risque dynamiques cohérentes dans le temps sur l'ensemble des chemins de cadencement $I{R}^n$ évalués dotés de la topologie de Skorokhod. On montre que ces mesures de risque ont des propriétés de régularité. Nous prouvons ensuite que ces mesures de risque dynamiques cohérentes dans le temps fournissent des supersolutions et des sous-solutions de viscosité pour les équations aux dérivées partielles du second ordre semi-linéaires dépendantes du chemin.

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