EL EUCH Omar

L'objectif de cette thèse est d'étudier différents aspects du comportement approximatif de la volatilité observée universellement sur les actifs financiers. Cette étude est réalisée en six étapes. Dans la première partie, nous étudions comment la volatilité brute peut naturellement émerger des comportements typiques des participants au marché. Pour ce faire, nous construisons un modèle de prix microscopique basé sur les processus de Hawkes dans lequel nous encodons les principales caractéristiques de la microstructure du marché. En étudiant le comportement asymptotique du prix sur le long terme, nous obtenons une version grossière du modèle de Heston présentant une volatilité grossière et un effet de levier. En utilisant ce lien original entre les processus de Hawkes et le cadre de Heston, nous calculons dans la deuxième partie de la thèse la fonction caractéristique du log-prix dans le modèle de Heston brut. Dans le modèle de Heston classique, la fonction caractéristique est exprimée en termes de solution d'une équation de Riccati. Nous montrons que les modèles de Heston rugueux bénéficient d'une formule similaire, l'équation de Riccati étant remplacée par sa version fractionnée. Cette formule nous permet de surmonter la nature non-markovienne du modèle afin de traiter l'évaluation des produits dérivés. Dans la troisième partie, nous abordons la question de la gestion des risques liés aux produits dérivés dans le cadre du modèle de Heston brut. Nous établissons des stratégies de couverture explicites en utilisant comme instruments l'actif sous-jacent et la courbe de variance à terme. Pour ce faire, nous spécifions la structure markovienne à dimension infinie du modèle de Heston rugueux. Étant en mesure de fixer le prix et de couvrir les produits dérivés dans le modèle de Heston brut, nous mettons le modèle en pratique dans la quatrième partie. Plus précisément, nous montrons l'excellente adéquation du modèle aux volatilités historiques et implicites. Nous montrons également que le modèle reproduit l'effet de Zumbach, c'est-à-dire une asymétrie de retournement temporel qui est observée empiriquement sur les données financières. Alors que l'approximation de Hawkes nous a permis de résoudre les problèmes de pricing et de couverture dans le cadre du modèle de Heston rugueux, cette approche ne peut être étendue à un modèle de volatilité rugueux arbitraire. Dans la cinquième partie, nous étudions le comportement de la volatilité implicite à la monnaie pour une petite maturité dans le cadre de modèles généraux de volatilité stochastique. Dans le même esprit que l'approximation de Hawkes, nous cherchons dans la sixième partie de cette thèse une approximation markovienne traçable qui tienne pour une classe générale de modèles de volatilité rugueuse. En appliquant cette approximation au cas spécifique du modèle de Heston, nous dérivons un schéma numérique pour résoudre les équations de Riccati fractionnelles. Enfin, nous terminons cette thèse par l'étude d'un problème sans rapport avec la volatilité rugueuse. Nous considérons un marché boursier qui cherche le meilleur système de frais de prise en charge pour attirer la liquidité sur sa plateforme. En utilisant un cadre principal-agent, nous décrivons le meilleur contrat que la bourse devrait proposer au teneur de marché et fournir les cotations optimales affichées par ce dernier. Nous soutenons également que cette politique conduit à une meilleure qualité de la liquidité et à une réduction des coûts de négociation pour les investisseurs.

Cette thèse a pour objectif la compréhension de plusieurs aspects du caractère rugueux de la volatilité observé de manière universelle sur les actifs financiers. Ceci est fait en six étapes. Dans une première partie, on explique cette propriété à partir des comportements typiques des agents sur le marché. Plus précisément, on construit un modèle de prix microscopique basé sur les processus de Hawkes reproduisant les faits stylisés importants de la microstructure des marchés. En étudiant le comportement du prix à long terme, on montre l’émergence d’une version rugueuse du modèle de Heston (appelé modèle rough Heston) avec effet de levier. En utilisant ce lien original entre les processus de Hawkes et les modèles de Heston, on calcule dans la deuxième partie de cette thèse la fonction caractéristique du log-prix du modèle rough Heston. Cette fonction caractéristique est donnée en terme d’une solution d’une équation de Riccati dans le cas du modèle de Heston classique. On montre la validité d’une formule similaire dans le cas du modèle rough Heston, où l’équation de Riccati est remplacée par sa version fractionnaire. Cette formule nous permet de surmonter les difficultés techniques dues au caractère non markovien du modèle afin de valoriser des produits dérivés. Dans la troisième partie, on aborde la question de la gestion des risques des produits dérivés dans le modèle rough Heston. On présente des stratégies de couverture utilisant comme instruments l’actif sous-jacent et la courbe variance forward. Ceci est fait en spécifiant la structure markovienne infini-dimensionnelle du modèle. Étant capable de valoriser et couvrir les produits dérivés dans le modèle rough Heston, nous confrontons ce modèle à la réalité des marchés financiers dans la quatrième partie. Plus précisément, on montre qu’il reproduit le comportement de la volatilité implicite et historique. On montre également qu’il génère l’effet Zumbach qui est une asymétrie par inversion du temps observée empiriquement sur les données financières. On étudie dans la cinquième partie le comportement limite de la volatilité implicite à la monnaie à faible maturité dans le cadre d’un modèle à volatilité stochastique général (incluant le modèle rough Bergomi), en appliquant un développement de la densité du prix de l’actif. Alors que l’approximation basée sur les processus de Hawkes a permis de traiter plusieurs questions relatives au modèle rough Heston, nous examinons dans la sixième partie une approximation markovienne s’appliquant sur une classe plus générale de modèles à volatilité rugueuse. En utilisant cette approximation dans le cas particulier du modèle rough Heston, on obtient une méthode numérique pour résoudre les équations de Riccati fractionnaires. Enfin, nous terminons cette thèse en étudiant un problème non lié à la littérature sur la volatilité rugueuse. Nous considérons le cas d’une plateforme cherchant le meilleur système de make-take fees pour attirer de la liquidité. En utilisant le cadre principal-agent, on décrit le meilleur contrat à proposer au market maker ainsi que les cotations optimales affichées par ce dernier. Nous montrons également que cette politique conduit à une meilleure liquidité et à une baisse des coûts de transaction pour les investisseurs.