La finance quantitative sous une volatilité grossière.

Résumé L'objectif de cette thèse est d'étudier différents aspects du comportement approximatif de la volatilité observée universellement sur les actifs financiers. Cette étude est réalisée en six étapes. Dans la première partie, nous étudions comment la volatilité brute peut naturellement émerger des comportements typiques des participants au marché. Pour ce faire, nous construisons un modèle de prix microscopique basé sur les processus de Hawkes dans lequel nous encodons les principales caractéristiques de la microstructure du marché. En étudiant le comportement asymptotique du prix sur le long terme, nous obtenons une version grossière du modèle de Heston présentant une volatilité grossière et un effet de levier. En utilisant ce lien original entre les processus de Hawkes et le cadre de Heston, nous calculons dans la deuxième partie de la thèse la fonction caractéristique du log-prix dans le modèle de Heston brut. Dans le modèle de Heston classique, la fonction caractéristique est exprimée en termes de solution d'une équation de Riccati. Nous montrons que les modèles de Heston rugueux bénéficient d'une formule similaire, l'équation de Riccati étant remplacée par sa version fractionnée. Cette formule nous permet de surmonter la nature non-markovienne du modèle afin de traiter l'évaluation des produits dérivés. Dans la troisième partie, nous abordons la question de la gestion des risques liés aux produits dérivés dans le cadre du modèle de Heston brut. Nous établissons des stratégies de couverture explicites en utilisant comme instruments l'actif sous-jacent et la courbe de variance à terme. Pour ce faire, nous spécifions la structure markovienne à dimension infinie du modèle de Heston rugueux. Étant en mesure de fixer le prix et de couvrir les produits dérivés dans le modèle de Heston brut, nous mettons le modèle en pratique dans la quatrième partie. Plus précisément, nous montrons l'excellente adéquation du modèle aux volatilités historiques et implicites. Nous montrons également que le modèle reproduit l'effet de Zumbach, c'est-à-dire une asymétrie de retournement temporel qui est observée empiriquement sur les données financières. Alors que l'approximation de Hawkes nous a permis de résoudre les problèmes de pricing et de couverture dans le cadre du modèle de Heston rugueux, cette approche ne peut être étendue à un modèle de volatilité rugueux arbitraire. Dans la cinquième partie, nous étudions le comportement de la volatilité implicite à la monnaie pour une petite maturité dans le cadre de modèles généraux de volatilité stochastique. Dans le même esprit que l'approximation de Hawkes, nous cherchons dans la sixième partie de cette thèse une approximation markovienne traçable qui tienne pour une classe générale de modèles de volatilité rugueuse. En appliquant cette approximation au cas spécifique du modèle de Heston, nous dérivons un schéma numérique pour résoudre les équations de Riccati fractionnelles. Enfin, nous terminons cette thèse par l'étude d'un problème sans rapport avec la volatilité rugueuse. Nous considérons un marché boursier qui cherche le meilleur système de frais de prise en charge pour attirer la liquidité sur sa plateforme. En utilisant un cadre principal-agent, nous décrivons le meilleur contrat que la bourse devrait proposer au teneur de marché et fournir les cotations optimales affichées par ce dernier. Nous soutenons également que cette politique conduit à une meilleure qualité de la liquidité et à une réduction des coûts de négociation pour les investisseurs.