Homogénéisation et amélioration de l'équation G dans des environnements aléatoires.

Résumé Nous étudions l'homogénéisation d'une équation $G$ qui est advectée par un champ vectoriel stationnaire sans divergence dans un environnement aléatoire ergodique général. Nous prouvons que l'équation moyennée est une équation G déterministe anisotrope et nous donnons les conditions nécessaires et suffisantes pour avoir un renforcement. Puisque le problème n'est pas supposé être coercitif, il n'est pas possible d'avoir des limites uniformes pour les solutions. De plus, comme nous le montrons, la fonction temps minimale (de premier passage) associée ne satisfait pas, en général, la condition d'intégrabilité uniforme qui est nécessaire pour appliquer le théorème ergodique sub-additif. Nous surmontons ces obstacles en (i) établissant une nouvelle estimation d'atteignabilité (contrôlabilité) pour la fonction minimale et (ii) en construisant, pour chaque direction et presque sûrement, une séquence aléatoire qui a à la fois une limite moyenne en temps long (en raison du théorème ergodique sub-additif) et reste (dans le même sens) asymptotiquement proche du temps minimal.