CARDALIAGUET Pierre

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Dans cette thèse, nous nous intéressons principalement à trois thèmes de recherche, relativement indépendants, mais néanmoins connexes au travers du fil conducteur des interactions et incitations, comme souligné dans l'introduction constituant le premier chapitre.Dans la première partie, nous présentons des extensions de la théorie des contrats, permettant notamment de considérer une multitude de joueurs dans des modèles principal-agent, avec contrôle du drift et de la volatilité, en présence d'aléa moral. En particulier, le chapitre 2 présente un problème d'incitations optimales en temps continu au sein d'une hiérarchie, inspiré du modèle à une période de Sung (2015) et éclairant à deux égards : d'une part, il présente un cadre où le contrôle de la volatilité intervient de manière parfaitement naturelle, et, d'autre part, il souligne l'importance de considérer des modèles en temps continu. En ce sens, cet exemple motive l'étude complète et générale des modèles hiérarchiques effectuée dans le troisième chapitre, qui va de pair avec la théorie récente des équations différentielles stochastiques du second ordre (2EDSR). Enfin, dans le chapitre 4, nous proposons une extension du modèle principal-agent développé par Aïd, Possamaï et Touzi (2019) à un continuum d'agents, dont les performances sont en particulier impactées par un aléa commun. Ces études nous guident notamment vers une généralisation des contrats dits révélateurs, proposés initialement par Cvitanić, Possamaï et Touzi (2018) dans un modèle à un seul agent.Dans la deuxième partie, nous présentons deux applications des problèmes principal-agent au domaine de l'énergie. La première, développée dans le chapitre 5, utilise le formalisme et les résultats théoriques introduits dans le chapitre précédent pour améliorer les programmes de réponse à la demande en électricité, déjà considérés par Aïd, Possamaï et Touzi (2019). En effet, en prenant en compte l'infinité de consommateurs que doit fournir en électricité un producteur, il est possible d'utiliser cette information supplémentaire pour construire les incitations optimales, afin notamment de mieux gérer le risque résiduel impliqué par les aléas climatiques. Dans un second temps, le chapitre 6 propose, à travers un modèle principal-agent avec sélection adverse, une assurance susceptible de prévenir certaines formes de précarité, en particulier la précarité énergétique.Enfin, nous terminons cette thèse par l'étude dans la dernière partie d'un second domaine d'application, celui de l'épidémiologie, et plus précisément le contrôle de la diffusion d'une maladie contagieuse au sein d'une population. Nous considérons en premier lieu dans le chapitre 7 le point de vue des individus, à travers un jeu à champs moyen : chaque individu peut choisir son taux d'interaction avec les autres, en conciliant d'un côté son besoin d'interactions sociales et de l'autre sa peur d'être à son tour contaminé, et de contribuer à la diffusion plus large de la maladie. Nous prouvons l'existence d'un équilibre de Nash entre les individus, et l'exhibons numériquement. Dans le dernier chapitre, nous prenons le point de vue du gouvernement, souhaitant inciter la population, représentée maintenant dans son ensemble, à diminuer ses interactions de manière à contenir l'épidémie. Nous montrons que la mise en place de sanctions en cas de non-respect du confinement peut s'avérer efficace, mais que, pour une maîtrise totale de l'épidémie, il est nécessaire de développer une politique de dépistage consciencieuse, accompagnée d'un isolement scrupuleux des individus testés positifs.

Cette thèse a pour objet d’étude la théorie des jeux à champs moyen. La majeure partie est consacrée à des jeux à champ moyen dans lesquels les joueurs peuvent interagir a travers la loi de leur état et de leur contrôle . nous utiliserons la terminologie jeu à champ moyen de contrôle pour désigner de tels jeux. Dans un premier temps, nous faisons une hypothèse structure, qui consiste essentiellement à dire que la dynamique optimale dépend de la loi de contrôle de façon lipschitzienne avec une constante inférieure à un. Dans ce cas, nous prouvons plusieurs résultats d’existence de solutions au système de jeu à champ moyen de contrôle, et un résultat d’unicité en temps court. Dans un second temps, nous mettons en place un schéma numérique et faisons des simulations pour des modèles de mouvement de populations. Dans un troisième temps, nous montrons l’existence et l’unicité lorsque l’interaction par le contrôle satisfait une condition de monotonie. Le dernier chapitre concerne un algorithme de résolution numérique pour des jeux à champ moyen de type variationnel et sans interaction via la loi du contrôle . nous utilisons une stratégie de préconditionnement par une méthode de multi-grille pour obtenir une convergence rapide.

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L'objectif de cet article est double. Le premier est d'étudier l'asymptotique d'une version parabolique, continue et stationnaire dans l'espace-temps du modèle bien connu de Funaki-Spohn en physique statistique. Après un changement d'inconnues nécessitant l'existence d'une solution éternelle stationnaire spatio-temporelle d'une équation de la chaleur stochastiquement perturbée, le problème se transforme en homogénéisation qualitative d'une équation aux dérivées partielles non linéaires uniformément elliptique, stationnaire spatio-temporelle, de forme divergente, dont l'étude constitue le second objectif de l'article. Une étape importante est la construction de correcteurs ayant le comportement approprié à l'infini.

Cette thèse est formulée en trois parties avec huit chapitres et présente un thème de recherche traitant des processus contrôlés / particules / agents en interaction.Dans la première partie de la thèse, nous focalisons notre attention sur l'étude des processus contrôlés en interaction représentant un équilibre coopératif, également appelé équilibre de Pareto. Un équilibre coopératif peut être vu comme une situation où il n'y a aucun moyen d'améliorer le critère de préférence d'un agent sans abaisser le critère de préférence d'au moins un autre agent. Il est bien connu maintenant que ce type de problème d'optimisation est lié, lorsque le nombre d'agents passe à l'infini, au contrôle optimal McKean-Vlasov. Dans les trois premiers chapitres de cette thèse, nous apportons une réponse mathématique précise au lien entre ces deux problèmes d'optimisation dans différents cadres améliorant la littérature existante, notamment en prenant en compte la loi de commande tout en permettant une situation de bruit commune.Après avoir étudié le comportement des équilibres coopératifs, nous concluons la première partie où nous passons du temps dans l'analyse du problème limite c'est-à-dire le contrôle optimal McKean-Vlasov, à travers l'établissement du principe de programmation dynamique (PPD) pour ce problème de contrôle stochastique.La seconde partie de cette thèse est consacrée à l'étude des processus contrôlés en interaction représentant désormais un équilibre de Nash, également appelé équilibre compétitif. Une situation d'équilibre de Nash dans un jeu est une situation dans laquelle personne n'a rien à gagner en quittant unilatéralement sa propre position. Depuis les travaux pionniers de Larsy - Lions et Huang - Malhamé - Caines, le comportement des équilibres de Nash lorsque le nombre d'agents atteint l'infini a été intensivement étudié et le jeu limite associé est connu sous le nom de Mean Field Games (MFG). Dans cette seconde partie, nous analysons d'abord la convergence des equilibres compétitifs vers les MFG dans un cadre avec la loi de contrôle et avec le contrôle de la volatilité, puis, la question de l'existence de l'équilibre MFG dans ce contexte est étudiée.Enfin, la dernière partie, qui ne comprend qu'un seul chapitre, est consacrée à quelques méthodes numériques pour résoudre le problème limite i.e. contrôle optimal McKean - Vlasov. Inspiré par la preuve de la convergence de l'équilibre coopératif, nous donnons un algorithme numérique pour résoudre le problème de contrôle optimal McKean-Vlasov et nous prouvons sa convergence. Ensuite, nous implémentons notre algorithme à partir de réseaux de neurones et testons son efficacité sur quelques exemples d'application, à savoir la sélection de portefeuille moyenne-variance, le modèle de risque systémique interbancaire et la liquidation optimale avec impact marché.

Nous développons une méthode de fractionnement pour prouver le caractère bien posé, en un temps court, de solutions pour deux équations maîtresses dans la théorie des jeux de champ moyen (MFG) : l'équation maîtresse du second ordre, décrivant les MFG avec un bruit commun, et le système d'équations maîtresses associé aux MFG avec un joueur majeur. Les deux problèmes sont des équations de dimension infinie énoncées dans l'espace des mesures de probabilité. Notre nouvelle approche simplifie, raccourcit et généralise les résultats d'existence précédents pour les équations maîtresses du second ordre et fournit le premier résultat d'existence pour les systèmes associés aux problèmes MFG avec un joueur majeur.

Ce volume fournit une introduction à la théorie des jeux en champ moyen, suggérée par J.-M. Lasry et P.-L. Lions en 2006 comme un modèle de champ moyen pour les équilibres de Nash dans l'interaction stratégique d'un grand nombre d'agents. Outre une présentation accessible des principales caractéristiques de la théorie des jeux à champ moyen, le volume offre une vue d'ensemble des développements récents qui explorent plusieurs directions importantes : des équations aux dérivées partielles à l'analyse stochastique, du calcul des variations à la modélisation et aux aspects liés aux méthodes numériques. Issu de l'école d'été du CIME "Mean Field Games" qui s'est tenue à Cetraro en 2019, ce livre rassemble des notes de cours préparées par Y. Achdou (avec M.

Nous obtenons des estimations de la régularité de Hölder dans l'espace-temps pour les solutions des équations de Hamilton-Jacobi du premier et du second ordre perturbées par un terme de forçage stochastique additif. Les limites ne dépendent que de la croissance de l'hamiltonien dans le gradient et de la régularité des coefficients stochastiques, d'une manière qui est invariante par rapport à une échelle hyperbolique.

Pour deux classes de systèmes de jeux à champ moyen, nous étudions la convergence des solutions lorsque le taux d'intérêt de la fonction de coût devient très grand, que les agents modélisés ne se soucient que d'un horizon temporel très court et que le coût du contrôle devient très bon marché. Dans les deux cas, la limite est une seule équation différentielle intégro-partielle du premier ordre pour l'évolution de la densité de masse. Le premier modèle est un système MFG d'ordre 2 avec une viscosité évanouissante, et la limite est une équation d'agrégation. Le résultat a une interprétation pour les modèles de comportement animal collectif et de dynamique des foules. La deuxième classe de problèmes est constituée de MFG d'accélération du 1er ordre et la limite est l'équation cinétique associée au modèle de Cucker-Smale. Le premier problème est analysé par des méthodes PDE, alors que le second est étudié par des méthodes variationnelles dans l'espace des mesures de probabilité sur les trajectoires.

Nous présentons un exemple de jeux différentiels symétriques ergodiques à N'joueurs, joués en stratégies de mémoire sur la position des joueurs, pour lesquels l'ensemble limite, lorsque N Ñ`8, des gains d'équilibre de Nash est grand, bien que le jeu ait un seul équilibre de jeu de champ moyen. Cet exemple contraste fortement avec un résultat de Lacker [23] pour les problèmes à horizon fini.

Dans cet article, nous étudions le caractère bien posé d'équations différentielles stochastiques en amont ou en aval dont la loi est contrainte de vivre dans un ensemble donné a priori (suffisamment lisse) et qui se reflète le long du vecteur "normal" correspondant. Nous étudions également le système associé de particules en interaction reflété dans le champ moyen et asymptotiquement décrit par de telles équations. Le cas des particules soumises à un bruit commun ainsi que le système asymptotique sont étudiés dans le cas direct. Finalement, nous connectons les équations différentielles stochastiques avant et arrière avec des contraintes normales en droit avec des équations différentielles partielles énoncées sur l'espace de Wasserstein et impliquant une condition de Neumann dans le cas avant et un obstacle dans le cas arrière.

Nous développons la contrepartie de la théorie KAM faible pour les jeux de champs moyens potentiels. Ceci permet de décrire le comportement à long terme des systèmes de jeux de champs moyens potentiels dépendant du temps. Notre résultat principal est l'existence d'une limite, lorsque le temps tend vers l'infini, de la fonction de valeur d'un problème de contrôle optimal énoncé dans l'espace des mesures. De plus, nous montrons une limite de champ moyen pour la constante ergodique associée à l'équation de Hamilton-Jacobi correspondante.

L'objectif de cet article est d'étudier le comportement à long terme des solutions des systèmes de jeu de champ moyen (MFG) du premier ordre avec un contrôle sur l'accélération. Le problème principal est le manque de contrôlabilité à court terme du problème, ce qui empêche de définir le problème de jeu de champ moyen ergodique associé de manière standard. Pour surmonter ce problème, nous étudions d'abord la moyenne à long terme des problèmes de contrôle optimal avec contrôle de l'accélération : nous prouvons que la moyenne temporelle de la fonction de valeur converge vers une constante ergodique et représentons cette constante ergodique comme un minimum d'un Lagrangien sur une classe appropriée de mesure de probabilité fermée. Cette caractérisation nous amène à définir le problème ergodique MFG comme un problème de point fixe sur l'ensemble des mesures de probabilité fermées. Ensuite, nous montrons également que ce problème ergodique MFG a au moins une solution, que la constante ergodique associée est unique sous l'hypothèse de mono-tonicité standard et que la moyenne temporelle de la fonction de valeur du problème MFG dépendant du temps avec contrôle de l'accélération converge vers cette constante ergodique.

Nous considérons les jeux de champs moyens sans idiosyncrasie mais avec un bruit commun de type brownien. Nous introduisons une notion de solutions du système d'équations différentielles partielles stochastiques amont-aval associé. Nous montrons que la solution existe et est unique pour des fonctions de couplage monotones. Il s'agit du premier résultat général pour les solutions du système des jeux de champ moyen avec un bruit commun et non idiosyncrasique. Nous utilisons également la solution pour trouver des stratégies optimales approximatives (équilibres de Nash) pour des jeux différentiels à N joueurs avec un bruit commun mais non idiosyncrasique. Une étape importante de l'analyse est l'étude du caractère bien posé d'une équation de Hamilton-Jacobi arrière stochastique.

Cette thèse porte sur l’étude du comportement en temps long des jeux à champ moyen (MFG) potentiels, indépendamment de la convexité du problème de minimisation associé. Pour le système hamiltonien de dimension finie, des problèmes de même nature ont été traités par la théorie KAM faible. Nous transposons de nombreux résultats de cette théorie dans le contexte des jeux à champ moyen potentiels. Tout d'abord, nous caractérisons par approximation ergodique la valeur limite associée aux systèmes MFG à horizon fini. Nous fournissons des exemples explicites dans lesquels cette valeur est strictement supérieure au niveau d’énergie des solutions stationnaires du système MFG ergodique. Cela implique que les trajectoires optimales des systèmes MFG à horizon fini ne peuvent pas converger vers des configurations stationnaires. Ensuite, nous prouvons la convergence du problème de minimisation associé à MFG à horizon fini vers une solution de l’équation Hamilton-Jacobi critique dans l’espace de mesures de probabilité. De plus, nous montrons une limite de champ moyen pour la constante ergodique associée à l’équation Hamilton-Jacobi de dimension finie correspondante. Dans la dernière partie, nous caractérisons la limite du problème de minimisation à horizon infini que nous avons utilisé pour l'approximation ergodique dans la première partie du manuscrit.

Les systèmes de jeux à champ moyen (MFG) décrivent des configurations d’équilibre dans des jeux différentiels avec un nombre infini d’agents infinitésimaux. Cette thèse s’articule autour de trois contributions différentes la théorie des jeux à champ moyen. Le but principal est d’explorer des applications et des extensions de cette théorie, et de proposer de nouvelles approches et idées pour traiter les questions mathématiques sous-jacentes. Le premier chapitre introduit en premier lieu les concepts et idées clés que nous utilisons tout au long de la thèse. Nous introduisons le problème MFG et nous expliquons brièvement le lien asymptotique avec les jeux différentiels N-joueurs lorsque N → ∞. Nous présentons ensuite nos principaux résultats et contributions. Le Chapitre 2 explore un modèle MFG avec un mode d’interaction non anticipatif (joueurs myopes). Contrairement aux modèles MFG classiques, nous considérons des agents moins rationnels qui n’anticipent pas l’évolution de l’environnement, mais observent uniquement l’état actuel du système, subissent les changements et prennent des mesures en conséquence. Nous analysons le système couplé d’EDP résultant de ce modèle, et nous établissons le lien rigoureux avec le jeu correspondant à N-Joueurs. Nous montrons que la population d’agents peut s’auto-organiser par un processus d’autocorrection et converger exponentiellement vite vers une configuration d’équilibre MFG bien connue. Les Chapitres 3 et 4 concernent l’application de la théorie MFG pour la modélisation des processus de production et commercialisation de produits avec ressources épuisables (ex. énergies fossiles). Dans le le Chapitre 3, nous proposons une approche variationnelle pour l’étude du système MFG correspondant et analysons la limite déterministe (sans fluctuations de la demande) dans un régime où les ressources sont renouvelables ou abondantes. Nous traitons dans le Chapitre 4 l’approximation MFG en analysant le lien asymptotique entre le modèle de Cournot à N-joueurs et le modèle de Cournot MFG lorsque N est grand. Enfin, le Chapitre 5 considère un modèle MFG pour l’exécution optimale d’un portefeuille d’actifs dans un marché financier. Nous explicitons notre modèle MFG et analysons le système d’EDP résultant, puis nous proposons une méthode numérique pour calculer la stratégie d’exécution optimale pour un agent étant donné son inventaire initial, et présentons plusieurs simulations. Par ailleurs, nous analysons l’influence de l’activité de trading sur la variation intraday de la matrice de covariance des rendements des actifs. Ensuite, nous vérifions nos conclusions et calibrons notre modèle en utilisant des données historiques des transactions pour un pool de 176 actions américaines.

L'espace de Wasserstein est l'ensemble des mesures de probabilité définies sur un domaine fixé et muni de la distance de Wasserstein quadratique. Dans ce travail, nous étudions des problèmes variationnels dans lesquels les inconnues sont des applications à valeurs dans l'espace de Wasserstein.Quand l'espace de départ est un segment, c'est-à-dire quand les inconnues sont des courbes à valeurs dans l'espace de Wasserstein, nous nous intéressons à des modèles où, en plus de l'action des courbes, des termes pénalisant les configurations de congestion sont présents. Nous développons des techniques permettant d'extraire de la régularité à partir de l'interaction entre l'évolution optimale de la densité (minimisation de l'action) et la pénalisation de la congestion, et nous les appliquons à l'étude des jeux à champ moyen et de la formulation variationelle des équations d'Euler.Quand l'espace de départ n'est plus seulement un segment mais un domaine de l'espace euclidien, nous considérons seulement le problème de Dirichlet, c'est-à-dire la minimisation de l'action (qui peut être appelée l'énergie de Dirichlet) parmi toutes les applications dont les valeurs sur le bord du domaine de départ sont fixées. Les solutions sont appelées les applications harmoniques à valeurs dans l'espace de Wasserstein. Nous montrons que les différentes définitions de l'énergie de Dirichlet présentes dans la littérature sont en fait équivalentes. que le problème de Dirichlet est bien posé sous des hypothèses assez faibles. que le principe de superposition est mis en échec lorsque l'espace de départ n'est pas un segment. que l'on peut formuler une sorte de principe du maximum. et nous proposons une méthode numérique pour calculer ces applications harmoniques.

Dans cet article, nous formulons le problème désormais classique de la liquidation optimale (ou du trading optimal) dans un jeu de champ moyen (MFG). Il s'agit d'un changement notable car les cadres mathématiques habituels se concentrent sur un grand opérateur face à un " bruit de fond " (ou " champ moyen "). Dans les cadres standards, les interactions entre le grand opérateur et le prix sont des termes d'impact sur le marché temporaires et permanents, ces derniers influençant le prix public. Dans ce document, le négociant est également confronté à l'incertitude des changements de prix équitables, mais pas seulement. Il doit faire face aux changements de prix générés par d'autres participants similaires du marché, qui ont également un impact permanent sur les prix, et agir de manière stratégique. Notre formulation MFG de ce problème appartient à la classe des " MFG étendus ", nous fournissons donc des résultats génériques pour traiter ces " MFG de contrôles ", avant de résoudre celui généré par la fonction de coût du trading optimal. Nous fournissons une formule fermée de sa solution, et traitons le cas des " préférences hétérogènes " (lorsque chaque participant a une aversion au risque différente). Enfin, nous donnons les conditions sous lesquelles les participants n'ont pas besoin de connaître instantanément l'état de l'ensemble du système, mais peuvent " l'apprendre " jour après jour, en observant les comportements des autres.

Les systèmes MFG (Mean Field Game) décrivent les configurations d'équilibre dans les jeux avec une infinité de contrôleurs en interaction. Nous nous intéressons au comportement de ce système lorsque l'horizon devient grand, ou lorsque le facteur d'escompte tend vers 0$. Nous montrons que, dans les deux cas, le comportement asymptotique du système du jeu de champ moyen est fortement lié au comportement en temps long de l'équation dite maître et à la limite d'actualisation de l'équation maître actualisée, respectivement. Les deux équations sont des équations de transport non linéaires dans l'espace des mesures. Nous prouvons l'existence d'une solution à une équation maîtresse ergodique, vers laquelle l'équation maîtresse dépendante du temps converge lorsque l'horizon devient grand, et vers laquelle l'équation maîtresse actualisée converge lorsque le facteur d'actualisation tend vers $0$. Toute l'analyse est basée sur l'obtention de nouvelles estimations pour les taux exponentiels de convergence du système MFG dépendant du temps et du système MFG actualisé.

Dans cet article, nous étudions le caractère bien posé d'équations différentielles stochastiques en amont ou en aval dont la loi est contrainte de vivre dans un ensemble donné a priori (suffisamment lisse) et qui se reflète le long du vecteur "normal" correspondant. Nous étudions également le système associé de particules en interaction reflété dans le champ moyen et asymptotiquement décrit par de telles équations. Le cas des particules soumises à un bruit commun ainsi que le système asymptotique sont étudiés dans le cas direct. Finalement, nous connectons les équations différentielles stochastiques avant et arrière avec des contraintes normales en droit avec des équations différentielles partielles énoncées sur l'espace de Wasserstein et impliquant une condition de Neumann dans le cas avant et un obstacle dans le cas arrière.

Nous présentons un exemple de jeux différentiels symétriques ergodiques à N'joueurs, joués en stratégies de mémoire sur la position des joueurs, pour lesquels l'ensemble limite, lorsque N Ñ`8, des gains d'équilibre de Nash est grand, bien que le jeu ait un seul équilibre de jeu de champ moyen. Cet exemple contraste fortement avec un résultat de Lacker [23] pour les problèmes à horizon fini.

Les systèmes MFG (Mean Field Game) décrivent les configurations d'équilibre dans les jeux avec une infinité de contrôleurs en interaction. Nous nous intéressons au comportement de ce système lorsque l'horizon devient grand, ou lorsque le facteur d'escompte tend vers 0$. Nous montrons que, dans les deux cas, le comportement asymptotique du système du jeu de champ moyen est fortement lié au comportement à long terme de l'équation dite maître et à la limite d'actualisation de l'équation maître actualisée, respectivement. Les deux équations sont des équations de transport non linéaires dans l'espace des mesures. Nous prouvons l'existence d'une solution à une équation maîtresse ergodique, vers laquelle l'équation maîtresse dépendante du temps converge lorsque l'horizon devient grand, et vers laquelle l'équation maîtresse actualisée converge lorsque le facteur d'actualisation tend vers $0$. Toute l'analyse est basée sur l'obtention de nouvelles estimations pour les taux exponentiels de convergence du système MFG dépendant du temps et du système MFG actualisé.

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Nous développons la contrepartie de la théorie KAM faible pour les jeux de champs moyens potentiels. Ceci permet de décrire le comportement à long terme des systèmes de jeux de champs moyens potentiels dépendant du temps. Notre résultat principal est l'existence d'une limite, lorsque le temps tend vers l'infini, de la fonction de valeur d'un problème de contrôle optimal énoncé dans l'espace des mesures. De plus, nous montrons une limite de champ moyen pour la constante ergodique associée à l'équation de Hamilton-Jacobi correspondante.

L'objectif de cet article est de dériver rigoureusement des modèles macroscopiques de flux de trafic à partir de modèles microscopiques. Plus précisément, pour les modèles microscopiques, nous considérons des modèles de type follow-the-leader avec différents types de conducteurs et de véhicules qui sont distribués aléatoirement sur la route. Après une remise à l'échelle, nous montrons que la fonction de distribution cumulative converge vers la solution d'un modèle macroscopique. Nous faisons également le lien entre ce modèle macroscopique et le modèle dit LWR.

Les jeux de champ moyen (MFG) sont des jeux dynamiques avec un nombre infini d'agents infinitésimaux. Dans ce contexte, nous étudions l'efficacité des équilibres de Nash MFG : nous comparons le coût social d'un équilibre MFG avec le coût minimal qu'un planificateur global peut atteindre. Nous trouvons une condition de structure sur le jeu sous laquelle il existe des équilibres MFG efficaces et, dans le cas où cette condition n'est pas remplie, nous quantifions l'inefficacité des équilibres MFG.

Une vaste quantité d'outils mathématiques permettant la modélisation et l'analyse des problèmes multi-agents ont récemment été développés dans le cadre de la théorie du transport optimal. Dans cette thèse, nous étendons pour la première fois plusieurs de ces concepts à des problématiques issues de la théorie du contrôle. Nous démontrons plusieurs résultats sur ce sujet, notamment des conditions nécessaires d'optimalité de type Pontryagin dans les espaces de Wasserstein, des conditions assurant la régularité intrinsèque de solutions optimales, des conditions suffisantes pour l'émergence de différents motifs, ainsi qu'un résultat auxiliaire à propos des arrangements de certaines singularités en géométrie sous-Riemannienne.

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Pour un modèle de jeu à champ moyen avec un joueur majeur et une infinité de joueurs mineurs, nous caractérisons une notion d'équilibre de Nash via un système d'équations dites maîtresses, à savoir un système d'équations de transport non linéaires dans l'espace des mesures. Ensuite, pour les jeux avec un nombre fini N de joueurs mineurs et un joueur majeur, nous prouvons que la solution du système de Nash correspondant converge vers la solution du système d'équations maîtresses lorsque N tend vers l'infini.

Cette thèse introduit une nouvelle notion de solution pour des équationsd'évolution non-linéaires déterministes, appellées solutionsmild découplées.Nous revisitons les liens entre équations différentielles rétrogrades(EDSRs) markoviennes browniennes et EDPsparaboliques semilinéaires en montrant que, sous de très faibles hypothèses,les EDSRs produisent une unique solution mild découplée d'une EDP.Nous étendons ce résultat à de nombreuses autres équations déterministestelles que des Pseudo-EDPs, des Equations Intégrales aux Dérivées Partielles(EIDPs), des EDPs à drift distributionnel, ou des E(I)DPs à dépendancetrajectorielle. Les solutions de ces équations sont représentées via des EDSRs qui peuvent être sans martingale de référence, ou dirigées par des martingales cadlag. En particulier, cette thèse résout le problème d'identification,qui consiste, dans le cas classique d'une EDSR markovienne brownienne, à donner un sens analytique au processus Z, second membre de la solution (Y,Z) de l'EDSR. Dans la littérature, Y détermine en général une solution de viscosité de l'équation déterministe et ce problème d'identification n'est résolu que quand cette solution de viscosité a un minimum de régularité. Notre méthode permet de résoudre ce problème même dans le cas général d'EDSRs à sauts (non nécéssairement markoviennes).

Les jeux de champ moyen avec contraintes d'état sont des jeux différentiels avec un nombre infini d'agents, chaque agent faisant face à une contrainte sur son état. L'objectif de cet article est de donner une signification au système d'EDP associé à ces jeux, appelé système de jeux de champ moyen avec contraintes d'état. Pour cela, nous montrons une propriété de semi-vavité globale de la fonction de valeur associée aux problèmes de contrôle optimal avec contraintes d'état.

Cette thèse porte sur l’étude de nouveaux modèles de jeux à champ moyen. On étudie dans un premier temps des modèles d’arrêt optimal et de contrôle impulsionnel en l’absence de bruit commun. On construit pour ces modèles une notion de solution adaptée pour laquelle on prouve des résultats d’existence et d’unicité sous des hypothèses naturelles. Ensuite, on s’intéresse à plusieurs propriétés des jeux à champ moyen. On étudie la limite de ces modèles vers des modèles d’évolution pures lorsque l’anticipation des joueurs tend vers 0. On montre l’unicité des équilibres pour des systèmes fortement couples (couples par les stratégies) sous certaines hypothèses. On prouve ensuite certains résultats de régularités sur une ”master equation” qui modélise un jeu à champ moyen avec bruit commun dans un espace d’états discret. Par la suite on présente une généralisation de l’algorithme standard d’Uzawa et on l’applique à la résolution numérique de certains modèles de jeux à champ moyen, notamment d’arrêt optimal ou de contrôle impulsionnel. Enfin on présente un cas concret de jeu à champ moyen qui provient de problèmes faisant intervenir un grand nombre d’appareils connectés dans les télécommunications.

Les jeux à champ moyen (MFG) sont une classe de jeux différentiels dans lequel chaque agent est infinitésimal et interagit avec une énorme population d'agents. Dans cette thèse, nous soulevons la question de la formation effective de l'équilibre MFG. En effet, le jeu étant très complexe, il est irréaliste de supposer que les agents peuvent réellement calculer la configuration d'équilibre. Cela semble indiquer que si la configuration d'équilibre se présente, c'est parce que les agents ont appris à jouer au jeu. Donc, la question principale est de trouver des procédures d'apprentissage dans les jeux à champ moyen et d'analyser leurs convergences vers un équilibre. Nous nous sommes inspirés par des schémas d'apprentissage dans les jeux statiques et avons essayé de les appliquer à notre modèle dynamique de MFG. Nous nous concentrons particulièrement sur les applications de fictitious play et online mirror descent sur différents types de jeux de champs moyens : Potentiel, Monotone ou Discret.

Nous introduisons la notion de solution stable dans la théorie des jeux de champ moyen : ce sont des solutions localement isolées du système de jeu de champ moyen. Nous prouvons que de telles solutions existent dans les jeux de champ moyen potentiels et sont des attracteurs locaux pour les procédures d'apprentissage.

Cet article s'intéresse au comportement de la constante ergodique associée à l'équation de Hamilton-Jacobi convexe et superlinéaire dans un environnement périodique qui est perturbé soit par un milieu à période croissante, soit par une perturbation aléatoire de Bernoulli à petit paramètre. Nous trouvons une expansion de Taylor du premier ordre pour la constante ergodique qui dépend de la dimension d. Lorsque d = 1, le terme du premier ordre est non trivial, tandis que pour tous les d ≥ 2, il est toujours égal à 0. Bien que de telles questions aient été examinées dans le contexte de l'homogénéisation linéaire uniformément elliptique, nos résultats sont les premiers de ce type dans un contexte non linéaire. Nos arguments, qui s'appuient sur les solutions de viscosité et la théorie KAM faible, soulèvent également plusieurs questions nouvelles et difficiles.

Cette thèse se décompose en trois grandes parties, qui traitent des EDP quasi linéaires paraboliques sur une jonction, des diffusions stochastiques sur une jonction, et du contrôle optimal également sur une jonction, avec contrôle au point de jonction. Nous commençons au premier Chapitre par introduire une nouvelle classe d'EDP non dégénérée et quasi linéaire, satisfaisant une condition de Neumann (ou de Kirchoff) non linéaire et non dynamique au point de jonction. Nous prouvons l'existence d'une solution classique, ainsi que son unicité. L'une des motivations portant sur l'étude de ce type d'EDP, est de faire le lien avec la théorie du contrôle optimale sur les jonctions, et de caractériser la fonction valeur de ce type de problème à l'aide des équations d'Hamilton Jacobi Bellman. Ainsi, au Chapitre suivant, nous formulons une preuve donnant l'existence d'une diffusion sur une jonction. Ce processus admet un temps local, dont l'existence et la variation quadratique dépendent essentiellement de l'hypothèse d'ellipticité des termes du second ordre au point de jonction. Nous formulerons une formule d'Itô pour ce processus. Ainsi, grâce aux résultats de ces deux Chapitres, nous formulerons dont le dernier Chapitre un problème de contrôle stochastique sur les jonctions, avec contrôle au point de jonction. L'espace des contrôles est celui des mesures de Probabilités résolvant un problème martingale. Nous prouvons la compacité de l'espace des contrôles admissibles, ainsi que le principe de la programmation dynamique.

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Dans cet article, nous formulons le problème désormais classique de la liquidation optimale (ou du trading optimal) dans un jeu de champ moyen (MFG). Il s'agit d'un changement notable car les cadres mathématiques habituels se concentrent sur un grand opérateur face à un " bruit de fond " (ou " champ moyen "). Dans les cadres standards, les interactions entre le grand opérateur et le prix sont des termes d'impact sur le marché temporaires et permanents, ces derniers influençant le prix public. Dans ce document, le négociant est également confronté à l'incertitude des changements de prix équitables, mais pas seulement. Il doit faire face aux changements de prix générés par d'autres participants similaires du marché, qui ont également un impact permanent sur les prix, et agir de manière stratégique. Notre formulation MFG de ce problème appartient à la classe des " MFG étendus ", nous fournissons donc des résultats génériques pour traiter ces " MFG de contrôles ", avant de résoudre celui généré par la fonction de coût du trading optimal. Nous fournissons une formule fermée de sa solution, et traitons le cas des " préférences hétérogènes " (lorsque chaque participant a une aversion au risque différente). Enfin, nous donnons les conditions sous lesquelles les participants n'ont pas besoin de connaître instantanément l'état de l'ensemble du système, mais peuvent " l'apprendre " jour après jour, en observant les comportements des autres.

Les systèmes Mean Field Game décrivent des configurations d'équilibre dans des jeux différentiels avec un nombre infini d'agents infinitésimaux en interaction. Nous introduisons une procédure d'apprentissage (similaire au jeu fictif) pour ces jeux et montrons sa convergence lorsque le jeu de champ moyen est potentiel.

Cette th?se contient deux contributions ? l?homog?n?isation en espace-temps des ?quations de Hamilton-Jacobi du premier ordre. Ces ?quations sont en lien avec la mod?lisation du trafic routier. Enfin, sont pr?sent?s des r?sultats d?homog?n?isation en milieu presque p?riodique. Le premier chapitre est consacr? ? l?homog?n?isation d?un syst?me infini d??quations diff?rentielles coupl?es avec temps de retard. Ce syst?me provient ici d?un mod?le microscopique de trafic routier simple. Les conducteurs se suivent sur une route rectiligne infinie et l?on tient compte de leur temps de r?action. On suppose que la vitesse de chaque conducteur est une fonction de l?interdistance avec le conducteur qui le pr?c?de: on parle d?un mod?le du type ?follow-the-leader?. Gr?ce ? un principe de comparaison strict, on montre la convergence vers un mod?le macroscopique pour des temps de r?action inf?rieurs ? une valeur critique. Dans un second temps, on exhibe un contre-exemple ? l?homog?n?isation pour un temps de r?action sup?rieur ? cette valeur critique, pour des conditions initiales particuli?res. Pour cela, on perturbe la solution stationnaire dans laquelle les v?hicules sont tous ?quidistants aux instants initiaux. Le second chapitre porte sur l?homog?n?isation d?une ?quation de Hamilton-Jacobi dont l?Hamiltonien est discontinu en espace. Le mod?le de trafic associ? est une route rectiligne comportant une infinit? de feux tricolores. Ces feux sont suppos?s identiques, ?quidistants et le d?phasage entre deux feux successifs est suppos? constant. On ?tudie l?influence ? grande ?chelle de ce d?phasage sur le trafic. On distingue la portion de route libre, qui sera repr?sent?e par un mod?le macroscopique, et les feux, qui seront mod?lis?s par des limiteurs de flux p?riodiques en temps. Le cadre th?orique est celui par C. Imbert et R. Monneau (2017) pour les ?quations de Hamilton-Jacobi sur r?seaux. L??tude se d?compose en l?homog?n?isation th?orique, o? l?Hamiltonien effectif d?pend du d?phasage, puis l?obtention de propri?t?s qualitatives de cet Hamiltonien ? l?aide d?observations via des simulations num?riques. Le troisi?me chapitre pr?sente des r?sultats d?homog?n?isation en milieu presque p?riodique. On ?tudie tout d?abord un probl?me d??volution avec un Hamiltonien stationnaire, presque p?riodique en espace. ? l?aide d?arguments presque p?riodiques, on effectue dans un second temps une nouvelle preuve du r?sultat d?homog?n?isation du second chapitre. L?Hamiltonien est alors p?riodique en temps et presque p?riodique en espace. Sont ?galement pr?sentes des questions encore ouvertes, notamment dans le cas o? l?Hamiltonien est presque p?riodique en temps-espace, et dans le cas d?un mod?le de trafic o? les feux sont assez proches, avec donc un mod?le microscopique entre les feux.

Nous prouvons, sous certaines hypothèses, l'existence de correcteurs pour l'homogénéisation stochastique d'équations de Hamilton-Jacobi " visqueuses " et éventuellement dégénérées dans des milieux stationnaires ergodiques. L'affirmation générale est que, en supposant la connaissance de l'homogénéisation en probabilité, des correcteurs existent pour tous les points extrêmes de la coque convexe des ensembles de sous-niveaux de l'hamiltonien effectif. Même lorsque l'homogénéisation n'est pas connue a priori, les arguments impliquent l'existence de correcteurs et, par conséquent, l'homogénéisation dans certains nouveaux contextes. Ceux-ci incluent les hamiltoniens positivement homogènes et, par conséquent, les équations de type géométrique, y compris le mouvement par courbure moyenne, dans des environnements radialement symétriques et pour toutes les directions. Les correcteurs existent également et, par conséquent, l'homogénéisation tient pour de nombreuses directions pour les hamiltoniens non convexes et les milieux ergodiques stationnaires généraux.

Nous introduisons la notion de solution stable dans la théorie des jeux de champ moyen : ce sont des solutions localement isolées du système de jeu de champ moyen. Nous prouvons que de telles solutions existent dans les jeux de champ moyen potentiels et sont des attracteurs locaux pour les procédures d'apprentissage.

Les systèmes Mean Field Game décrivent des configurations d'équilibre dans des jeux différentiels avec un nombre infini d'agents infinitésimaux en interaction. Nous introduisons une procédure d'apprentissage (similaire au jeu fictif) pour ces jeux et montrons sa convergence lorsque le jeu de champ moyen est potentiel.

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La théorie des jeux en champ moyen constitue un formalisme puissant introduit récemmentpour étudier des problèmes d’optimisation stochastiques avec un grand nombre d’agents. Aprèsavoir rappelé les principes de base de cette théorie et présenté quelques cas d’applicationtypiques, on étudie en détail un modèle stylisé de séminaire, de type champ moyen. Nousdérivons une équation exacte qui permet de prédire l’heure de commencement du séminaire etanalysons différents régimes limites, dans lesquels on parvient à des expressions approchées de lasolution. Ainsi on obtient un "diagramme de phase" du problème. On aborde ensuite un modèleplus complexe de population avec des effets de groupe attractifs. Grâce à une analogie formelleavec l’équation de Schrödinger non linéaire, on met en évidence des lois d’évolutions généralespour les valeurs moyennes du problème, que le système vérifie certaines lois de conservation etl’ on développe des approximations de type variationnel. Cela nous permet de comprendre lecomportement qualitatif du problème dans le régime de fortes interactions.

Dans ce travail, on étudie l'homogénéisation de quelques problèmes de propagations de fronts dans des milieux stationnaires et ergodiques. Dans la première partie, on étudie l'homogénéisation stochastique de quelques problèmes de propagations de fronts non-locaux. En particulier, on donne une version non-locale de la méthode de la fonction test perturbée d'Evans. La deuxième partie est consacrée à l'approximation numérique du Hamiltonien effectif qui découle de l'homogénéisation stochastique des équations de Hamilton-Jacobi. On établit des estimations d'erreurs entre les solutions numériques et l'Hamiltonien effectif. Dans la troisième partie, on s'intéresse à l'homogénéisation stochastique de problèmes de propagations de fronts qui évoluent dans la direction normale avec une vitesse qui peut être non bornée. On montre des résultats d'homogénéisation dans le cas des milieux i.i.d.

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Cette thèse porte sur la modélisation, l’analyse et l’analyse numérique des équations aux dérivées partielles non-linéaires et non-locales avec des applications au trafic routier. Le trafic routier peut être modélisé à des différentes échelles. En particulier, on peut considérer l’échelle microscopique qui décrit la dynamique de chaque véhicule individuellement et l’échelle macroscopique qui voit le trafic comme un fluide et qui décrit le trafic en utilisant des quantités macroscopiques comme la densité des véhicules et la vitesse moyenne. Dans cette thèse, en utilisant la théorie des solutions de viscosité, on fait le passage entre les modèles microscopiques et les modèles macroscopiques. L’intérêt de ce passage est que les modèles microscopiques sont plus intuitifs et faciles à manipuler pour simuler des situations particulières (bifurcations, feux tricolores,.) mais ils ne sont pas adaptés à des grosses simulations (pour simuler le trafic dans toute une ville par exemple). Au contraire, les modèles macroscopiques sont moins évidents à modifier (pour simuler une situation particulière) mais ils peuvent être utilisés pour des simulations à grande échelle. L’idée est donc de trouver le modèle macroscopique équivalent à un modèle microscopique qui décrit un scénario précis (une jonction, une bifurcation, des différents types de conducteurs, une zone scolaire,.). La première partie de cette thèse contient un résultat d’homogénéisation et d’homogénéisation numérique pour un modèle microscopique avec différents types de conducteurs. Dans une seconde partie, on obtient des résultats d’homogénéisation et d’homogénéisation numérique pour des modèles microscopiques con- tenant une perturbation locale (ralentisseur, zone scolaire,.). Finalement, on présente un résultat d’homogénéisation dans le cadre d’une bifurcation.

Dans cet article, nous étudions les systèmes de jeu de champ moyen sous contraintes de densité comme conditions d'optimalité de deux problèmes d'optimisation en dualité. Une solution faible du système contient un terme supplémentaire, un prix additionnel imposé aux zones saturées. Nous montrons que ce prix correspond au champ de pression des modèles d'équations d'Euler incompressibles à la Brenier. Par cette observation, nous parvenons à obtenir une régularité minimale, qui permet d'écrire des conditions d'optimalité au niveau des trajectoires d'un seul agent et de définir une notion faible d'équilibre de Nash pour notre modèle.

Nous prouvons que les non-linéarités effectives (constantes ergodiques) obtenues dans l'homogénéisation stochastique des pde de Hamilton-Jacobi, de Hamilton-Jacobi "visqueux" et des pde uniformément elliptiques non linéaires sont approximées par les quantités analogues des "périodisations" appropriées des équations. Nous obtenons également une estimation de l'erreur, lorsqu'il existe un taux de convergence pour l'homogénéisation stochastique.

Nous fournissons des estimations de Sobolev pour les solutions des équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre avec des hamiltoniens qui sont superlinéaires dans la variable de gradient. Nous montrons également que les solutions sont différentiables presque partout. La preuve s'appuie sur une inégalité inverse de Hitchener. Des applications aux jeux de champ moyen sont discutées.

Nous analysons un système d'équations aux dérivées partielles du second ordre (éventuellement dégénéré) pour les jeux de champ moyen. Les caractéristiques distinctives du modèle considéré sont (1) qu'il n'est pas uniformément parabolique, incluant le cas du premier ordre comme une possibilité, et (2) que le couplage est un opérateur local sur la densité. Par conséquent, nous recherchons des solutions faibles et non lisses. Notre principal résultat est l'existence et l'unicité de solutions faibles convenablement définies, qui sont caractérisées comme des minimiseurs de deux problèmes de contrôle optimal. Nous montrons également que ces solutions sont stables par rapport aux données, de sorte que, en particulier, le cas dégénéré peut être approximé par une perturbation (visqueuse) uniformément parabolique.

Nous prouvons que les non-linéarités effectives (constantes ergodiques) obtenues dans l'homogénéisation stochastique des pde de Hamilton-Jacobi, de Hamilton-Jacobi "visqueux" et des pde uniformément elliptiques non linéaires sont approximées par les quantités analogues des "périodisations" appropriées des équations. Nous obtenons également une estimation de l'erreur, lorsqu'il existe un taux de convergence pour l'homogénéisation stochastique.

L'existence et l'unicité d'une solution faible pour les systèmes de jeux de champ moyen du premier ordre avec couplage local sont obtenues par des méthodes variationnelles. Cette solution peut être utilisée pour concevoir des équilibres $\epsilon-$Nash pour des jeux différentiels déterministes avec un nombre fini (mais grand) de joueurs. Pour des données lisses, on prouve que la première composante de la solution faible du système MFG satisfait (dans un sens de viscosité) une équation différentielle elliptique dégénérée dans l'espace-temps.

Nous considérons un système de jeux de champ moyen avec couplage local dans la limite déterministe. Sous des conditions générales de structure sur le hamiltonien et le couplage, nous prouvons l'existence et l'unicité de la solution faible, caractérisant cette solution comme le minimiseur d'un certain contrôle optimal des équations de Hamilton-Jacobi et de continuité. Nous prouvons également que cette solution converge en moyenne à long terme vers la solution du problème ergodique associé.

Nous considérons un système de jeux de champ moyen avec couplage local dans la limite déterministe. Sous des conditions générales de structure sur le hamiltonien et le couplage, nous prouvons l'existence et l'unicité de la solution faible, caractérisant cette solution comme le minimiseur d'un certain contrôle optimal des équations de Hamilton-Jacobi et de continuité. Nous prouvons également que cette solution converge en moyenne à long terme vers la solution du problème ergodique associé.

L'existence et l'unicité d'une solution faible pour les systèmes de jeux de champ moyen du premier ordre avec couplage local sont obtenues par des méthodes variationnelles. Cette solution peut être utilisée pour concevoir des équilibres $\epsilon-$Nash pour des jeux différentiels déterministes avec un nombre fini (mais grand) de joueurs. Pour des données lisses, on prouve que la première composante de la solution faible du système MFG satisfait (dans un sens de viscosité) une équation différentielle elliptique dégénérée dans l'espace-temps.

Nous analysons un système d'équations aux dérivées partielles du second ordre (éventuellement dégénéré) pour les jeux de champ moyen. Les caractéristiques distinctives du modèle considéré sont (1) qu'il n'est pas uniformément parabolique, incluant le cas du premier ordre comme une possibilité, et (2) que le couplage est un opérateur local sur la densité. Par conséquent, nous recherchons des solutions faibles et non lisses. Notre principal résultat est l'existence et l'unicité de solutions faibles convenablement définies, qui sont caractérisées comme des minimiseurs de deux problèmes de contrôle optimal. Nous montrons également que ces solutions sont stables par rapport aux données, de sorte que, en particulier, le cas dégénéré peut être approximé par une perturbation (visqueuse) uniformément parabolique.

Nous présentons des estimations d'erreurs exponentielles et démontrons un taux de convergence algébrique pour l'homogénéisation des équations de Hamilton-Jacobi convexes à niveau dans des environnements aléatoires i.i.d., les premiers résultats quantitatifs d'homogénéisation pour ces équations dans le cadre stochastique. En profitant d'une connexion entre l'approche métrique de l'homogénéisation et la théorie de la percolation de premier passage, nous obtenons des estimations sur les fluctuations des solutions du problème de la cellule approximative dans le régime balistique (loin du point plat du hamiltonien effectif). Dans le régime sous-balistique (sur le point plat), nous montrons que les fluctuations sont régies par un mécanisme entièrement différent et que l'homogénéisation peut se dérouler, sans autres hypothèses, à un rythme arbitrairement lent. Nous identifions une condition nécessaire et suffisante sur la loi de l'hamiltonien pour qu'un taux de convergence algébrique tienne dans le régime sous-ballistique et nous montrons, sous cette hypothèse, que les deux taux peuvent être fusionnés pour donner des estimations d'erreur complètes et un taux de convergence algébrique pour l'homogénéisation. Nos méthodes sont nouvelles et très différentes des techniques employées dans le cadre périodique, bien que nous bénéficions de travaux antérieurs sur la percolation de premier passage et l'homogénéisation. Le lien entre le taux d'homogénéisation et le point plat de l'hamiltonien effectif, qui est lié à l'inexistence de correcteurs, est un phénomène purement aléatoire observé ici pour la première fois.

Nous étudions un jeu différentiel à somme nulle à deux joueurs avec une information incomplète sur l'état initial : Le premier joueur possède une information privée sur l'état initial tandis que le second joueur ne connaît qu'une distribution de probabilité sur l'état initial. Ceci pourrait être considéré comme une généralisation aux jeux différentiels du célèbre cadre d'Aumann-Maschler pour les jeux répétés. Dans un article du premier auteur, l'existence de la valeur dans les stratégies aléatoires a été obtenue pour un nombre fini de conditions initiales (la distribution de probabilité est une combinaison finie de mesures de Dirac). La principale nouveauté du présent travail consiste à : d'abord étendre le résultat sur l'existence d'une valeur dans les stratégies aléatoires pour un nombre infini de conditions initiales et ensuite - et surtout - prouver l'existence d'une valeur dans les stratégies pures lorsque la distribution de probabilité initiale est suffisamment régulière (sans atomes).

Nous considérons des systèmes de jeux de champs moyens dégénérés du second ordre avec un couplage local. Le point de départ est l'idée que les systèmes de jeux de champs moyens peuvent être compris comme une condition d'optimalité pour le contrôle optimal des EDPs. En développant cette stratégie pour le cas du second ordre dégénéré, nous discutons de l'existence et de l'unicité d'une solution faible ainsi que de sa stabilité (limite de viscosité évanouissante). Conférencier : Daniela TONON.

Nous prouvons des estimations explicites pour l'erreur dans l'homogénéisation aléatoire d'équations de Hamilton-Jacobi dégénérées du second ordre, en supposant que les coefficients satisfont une plage de dépendance finie. En particulier, nous obtenons un taux de convergence algébrique avec une probabilité écrasante sous certaines conditions structurelles sur l'hamiltonien.

Nous montrons que la moyenne à long terme des solutions de systèmes de jeux de champ moyen du premier ordre dans un horizon fini est régie par un système ergodique de type jeu de champ moyen. Le caractère bien posé de ce dernier système et l'unicité de la constante ergodique reposent sur la théorie KAM faible.

Nous étudions un jeu stochastique à deux joueurs, à somme nulle, à information incomplète d'un côté, dans lequel les joueurs sont autorisés à jouer de plus en plus fréquemment. Le joueur informé observe la réalisation d'une chaîne de Markov dont dépendent les gains, tandis que le joueur non-informé n'observe que les actions de son adversaire. Nous montrons l'existence d'une valeur limite lorsque l'intervalle de temps entre deux étapes consécutives disparaît. Cette valeur est caractérisée par un problème d'optimisation auxiliaire et comme la solution d'une équation de Hamilton-Jacobi.

Nous étudions la moyenne en temps long, lorsque l'horizon temporel tend vers l'infini, de la solution d'un système de jeu de champ moyen avec un couplage non local. Nous montrons une convergence exponentielle vers la solution du jeu de champ moyen ergodique stationnaire associé. Les preuves reposent sur des estimations de la semi-convivialité et des propriétés de lissage du système linéarisé. La recherche qui a conduit au présent article a été partiellement soutenue par une subvention du groupe GNAMPA de l'INdA.

Nous introduisons une nouvelle notion de stratégies pathwise pour les jeux différentiels stochastiques. Cela nous permet de donner un sens correct à certaines affirmations de [Cardaliaguet-Rainer 2009].

Nous étudions l'homogénéisation d'une équation $G$ qui est advectée par un champ vectoriel stationnaire sans divergence dans un environnement aléatoire ergodique général. Nous prouvons que l'équation moyennée est une équation G déterministe anisotrope et nous donnons les conditions nécessaires et suffisantes pour avoir un renforcement. Puisque le problème n'est pas supposé être coercitif, il n'est pas possible d'avoir des limites uniformes pour les solutions. De plus, comme nous le montrons, la fonction temps minimale (de premier passage) associée ne satisfait pas, en général, la condition d'intégrabilité uniforme qui est nécessaire pour appliquer le théorème ergodique sub-additif. Nous surmontons ces obstacles en (i) établissant une nouvelle estimation d'atteignabilité (contrôlabilité) pour la fonction minimale et (ii) en construisant, pour chaque direction et presque sûrement, une séquence aléatoire qui a à la fois une limite moyenne en temps long (en raison du théorème ergodique sub-additif) et reste (dans le même sens) asymptotiquement proche du temps minimal.

Nous étudions un jeu stochastique à deux joueurs, à somme nulle, à information incomplète d'un côté, dans lequel les joueurs sont autorisés à jouer de plus en plus fréquemment. Le joueur informé observe la réalisation d'une chaîne de Markov dont dépendent les gains, tandis que le joueur non-informé n'observe que les actions de son adversaire. Nous montrons l'existence d'une valeur limite lorsque l'intervalle de temps entre deux étapes consécutives disparaît. Cette valeur est caractérisée par un problème d'optimisation auxiliaire et comme la solution d'une équation de Hamilton-Jacobi.

Dans cet article, nous étudions la caractérisation des géodésiques pour une classe de distances entre des mesures de probabilité introduites par Dolbeault, Nazaret et Savar e. Nous prouvons d'abord l'existence d'une fonction potentielle, puis nous donnons des conditions d'optimalité nécessaires et suffisantes qui prennent la forme d'un système couplé d'EDP quelque peu similaire au système Mean-Field-Games de Lasry et Lions. Nous considérons également une formulation équivalente posée dans un ensemble de mesures de probabilité sur des courbes.

L'objectif de cette thèse est l'étude des jeux différentiels stochastiques à information incomplète. Nous considérons un jeu à deux joueurs adverses qui contrôlent une diffusion afin de minimiser, respectivement de maximiser un paiement spécifique. Pour modéliser l'incomplétude des informations, nous suivrons la célèbre approche d'Aumann et Maschler. Nous supposons qu'il existe des états de la nature différents dans laquelle le jeu peut avoir lieu. Avant que le jeu commence, l'état est choisi au hasard. L'information est ensuite transmise à un joueur alors que le second ne connaît que les probabilités respectives pour chaque état.Dans cette thèse nous établissons une représentationduale pour les jeux différentiels stochastiques à information incomplète. Ici, nous utilisons largement la théorie des équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSRs), qui se révèle être un outilindispensable dans cette étude. En outre, nous montrons comment, sous certaines restrictions, cette représentation permetde construire des stratégies optimales pour le joueur informé. Ensuite, nous donnons, en utilisant la représentation duale, une preuve particulièrement simple de la semiconvexité de la fonction valeur des jeux différentiels à information incomplète.Un autre partie de la thèse est consacré à des schémas numériques pour les jeux différentiels stochastiques à informationincomplète. Dans la dernière partie nous étudions des jeux d'arrêt optimal en temps continue, appelés jeux de Dynkin, à information incomplète. Nous établissons également une représentation duale, qui est utilisé pour déterminer des stratégies optimales pour le joueur informé dans ce cas.

Cette thèse étudie différents types de jeux à information asymétrique. Dans le cadre des jeux à information incomplète des deux côtés, nous présentons une approximation discrète de la fonction valeur basée sur l'opérateur de Mertens-Zamir. Nous donnons également une stratégie optimale pour le jeu à information incomplète d'un seul côté où les joueurs optimisent un paiement courant indépendant de l'état du système. Dans le cadre des jeux à somme non nulle, nous donnons la caractérisation des paiements d'équilibre de Nash en stratégies mixtes, qui est très semblable au "folk theorem" des jeux répétés. Ces paiements d'équilibre sont en fait les paiements d'équilibre de Nash en stratégies publiquement corrélées. Nous étudions enfin un type de jeu à observation imparfaite où l'un des joueurs est aveugle. Nous établissons l'existence de la valeur, caractérisée comme l'unique solution d'une équation d'Hamilton-Jacobi dans l'espace de Wasserstein.

Notre travail de thèse comporte trois parties toutes reliées par la question du manque d’information en théorie des jeux. D’abord, nous étudions la notion d’approchabilité de Blackwell dans les jeux répétés à paiements vectoriels en utilisant les techniques développées dans le cadre des jeux différentiels qualitatifs. En effet, nous reformulons la condition suffisante d’approchabilité d’un ensemble fermé (B-ensemble) par la notion d’un domaine discriminant pour un jeu différentiel qualitatif approprié. En introduisant un jeu répété auxiliaire, nous prouvons qu’un ensemble fermé est *-approchable (i. E. , approchable de manière déterministe) si et seulement s’il contient un B-ensemble non vide. Un de nos résultats principaux est d’établir les liens entre les stratégies de comportement dans les jeux répétés et les stratégies non anticipatives dans le cadre du jeu d’approchabilité. Nous étudions aussi un jeu différentiel escompté à horizon infini avec manque d’information des deux côtés. Pour cela nous suivons le modèle introduit par Cardaliaguet pour l’étendre au cadre de l’horizon infini. On obtient d’abord un principe de sous-programmation dynamique. Puis on prouve que les fonctions valeurs supérieure et inférieure sont respectivement des sous solutions et sur solution au sens dual de l’équation de Hamilton Jacobi associee A l’aide d’un principe de comparaison nous prouvons l’unicité de la solution au sens dual et ainsi l’existence de la valeur. Dans le dernier chapitre, nous étudions un système contrôle avec information probabiliste sur l’état initial et étendons les théorèmes de viabilité et d’invariance à l’espace de Wasserstein des mesures de probabilités. Comme application nous considérons un problème de contrôle optimal de type Mayer ou l’état du système est connu selon une loi de probabilité. Suivant l’approche épigraphique de Frankowska nous caractérisons la fonction comme unique épisolution proximale d’une équation de type Hamilton-Jacobi.

Ce travail porte sur l’étude de propagations de fronts gouvernées par des lois locales et non-locales. Dans la méthode par lignes de niveau, le front est vu comme ligne de niveau 0 d’une fonction auxiliaire. A la loi géométrique d’évolution du front correspond alors une équation de Hamilton-Jacobi sur cette fonction, que nous envisageons dans le cadre des solutions de viscosité. Dans les modéles non-locaux, la difficulté principale pour prouver des résultats d’existence ou d’unicité est l’absence de principe d’inclusion entre les fronts. Dans la méthode par lignes de niveau, ceci correspond à une absence de principe de comparaison entre les fonctions, qui rend impossible l’utilisation des techniques habituelles. L’utilisation alternative de méthodes de point fixe associe à toute équation non-locale une famille d’équations locales. La compréhension de la régularité des solutions des équations locales, et en particulier du périmètre de leurs lignes de niveau, apparaît alors cruciale dans les arguments de point fixe. Dans le chapitre 1, on prouve des formulations intégrales de l’équation eikonale locale, dont on déduit des estimations sur le périmétre des lignes de niveau de ses solutions. Dans le reste des travaux, on s’intéresse aux équations non-locales, et notamment à une notion de solution faible pour ces équations. Deux modèles non-locaux, la dynamique des dislocations et un système de type Fitzhugh-Nagumo, sont également étudiés en détails. On donne en particulier des résultats d’existence, d’unicité et d’approximation numérique dé solutions faibles.

Cette thèse est consacrée à un jeu différentiel - c'est-à-dire un système différentiel bi-contrôle dans lequel un des joueurs cherche à faire entrer l'état du système dans une cible donnée tandis que l'autre joueur cherche à maintenir l'état du système hors de la cible. C'est le jeu de cible. Nous étudions ce jeu dans le contexte des stratégies non anticipatives (d’Elliot & Kalton) et des stratégies de rétroaction (de Breakwell & Bernhard). Pour chaque contexte de stratégies, nous définissons les domaines de victoire, qui sont les ensembles de données initiales à partir desquelles un joueur peut gagner quelle que soit l'action de son adversaire. Nous montrons, dans le contexte des stratégies non anticipatives, que les domaines de victoire forment une partition du complémentaire de la cible. Nous caractérisons les domaines de victoire de chacun des joueurs à l'aide d'un ensemble (le noyau discriminant) défini à partir de conditions géométriques inspirées par la théorie de la viabilité (c. F. J. P. Aubin). Grâce à cette caractérisation, nous mettons en évidence une propriété de barrière sur le bord des domaines de victoire. Nous proposons des algorithmes de calcul des domaines de victoire ne nécessitant pas le calcul de trajectoires.