Comportement ergodique des problèmes de contrôle et de jeux de champ moyen en fonction de l'accélération.

Résumé L'objectif de cet article est d'étudier le comportement à long terme des solutions des systèmes de jeu de champ moyen (MFG) du premier ordre avec un contrôle sur l'accélération. Le problème principal est le manque de contrôlabilité à court terme du problème, ce qui empêche de définir le problème de jeu de champ moyen ergodique associé de manière standard. Pour surmonter ce problème, nous étudions d'abord la moyenne à long terme des problèmes de contrôle optimal avec contrôle de l'accélération : nous prouvons que la moyenne temporelle de la fonction de valeur converge vers une constante ergodique et représentons cette constante ergodique comme un minimum d'un Lagrangien sur une classe appropriée de mesure de probabilité fermée. Cette caractérisation nous amène à définir le problème ergodique MFG comme un problème de point fixe sur l'ensemble des mesures de probabilité fermées. Ensuite, nous montrons également que ce problème ergodique MFG a au moins une solution, que la constante ergodique associée est unique sous l'hypothèse de mono-tonicité standard et que la moyenne temporelle de la fonction de valeur du problème MFG dépendant du temps avec contrôle de l'accélération converge vers cette constante ergodique.