Contribution aux équations aux dérivées partielles non linéaires et non locales et application au trafic routier.

Résumé Cette thèse porte sur la modélisation, l’analyse et l’analyse numérique des équations aux dérivées partielles non-linéaires et non-locales avec des applications au trafic routier. Le trafic routier peut être modélisé à des différentes échelles. En particulier, on peut considérer l’échelle microscopique qui décrit la dynamique de chaque véhicule individuellement et l’échelle macroscopique qui voit le trafic comme un fluide et qui décrit le trafic en utilisant des quantités macroscopiques comme la densité des véhicules et la vitesse moyenne. Dans cette thèse, en utilisant la théorie des solutions de viscosité, on fait le passage entre les modèles microscopiques et les modèles macroscopiques. L’intérêt de ce passage est que les modèles microscopiques sont plus intuitifs et faciles à manipuler pour simuler des situations particulières (bifurcations, feux tricolores,.) mais ils ne sont pas adaptés à des grosses simulations (pour simuler le trafic dans toute une ville par exemple). Au contraire, les modèles macroscopiques sont moins évidents à modifier (pour simuler une situation particulière) mais ils peuvent être utilisés pour des simulations à grande échelle. L’idée est donc de trouver le modèle macroscopique équivalent à un modèle microscopique qui décrit un scénario précis (une jonction, une bifurcation, des différents types de conducteurs, une zone scolaire,.). La première partie de cette thèse contient un résultat d’homogénéisation et d’homogénéisation numérique pour un modèle microscopique avec différents types de conducteurs. Dans une seconde partie, on obtient des résultats d’homogénéisation et d’homogénéisation numérique pour des modèles microscopiques con- tenant une perturbation locale (ralentisseur, zone scolaire,.). Finalement, on présente un résultat d’homogénéisation dans le cadre d’une bifurcation.