ACHDOU Yves

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Nous considérons des jeux déterministes à champ moyen dans lesquels les agents contrôlent leur accélération et sont contraints de rester dans un domaine de R n. Nous étudions les équilibres relaxés dans le cadre lagrangien. ils sont décrits par une mesure de probabilité sur les trajectoires. Les principaux résultats de l'article concernent l'existence d'équilibres relaxés sous des hypothèses appropriées. Le fait que les trajectoires optimales du problème de contrôle optimal connexe résolu par les agents ne forment pas un ensemble compact apporte une difficulté dans la preuve d'existence. La preuve requiert également des propriétés de graphe fermé de la carte qui associe aux conditions initiales l'ensemble des trajectoires optimales.

Nous considérons des jeux déterministes à champ moyen dans lesquels les agents contrôlent leur accélération et sont contraints de rester dans un domaine de R n. Nous étudions les équilibres relaxés dans le cadre lagrangien. ils sont décrits par une mesure de probabilité sur les trajectoires. Les principaux résultats de l'article concernent l'existence d'équilibres relaxés sous des hypothèses appropriées. Le fait que les trajectoires optimales du problème de contrôle optimal connexe résolu par les agents ne forment pas un ensemble compact apporte une difficulté dans la preuve d'existence. La preuve requiert également des propriétés de graphe fermé de la carte qui associe aux conditions initiales l'ensemble des trajectoires optimales.

Nous considérons une classe de problèmes de contrôle optimal stochastique en boucle fermée dans un horizon temporel fini, dans lesquels le coût est une espérance conditionnelle au fait que le processus n'est pas sorti d'un domaine borné donné. Une difficulté importante est que la probabilité de l'événement qui conditionne la stratégie décroît avec la croissance du temps. Les conditions d'optimalité consistent en un système d'équations aux dérivées partielles, comprenant une équation de Hamilton-Jacobi-Bellman (en arrière par rapport au temps) et une équation de Fokker-Planck (en avant par rapport au temps) pour la loi du processus conditionné. Les deux équations sont complétées par des conditions de Dirichlet. Ensuite, nous discutons du comportement asymptotique lorsque l'horizon temporel tend vers`8. Ceci conduit à un nouveau type de problème de contrôle optimal piloté par un problème de valeur propre lié à une équation de continuité avec des conditions de Dirichlet sur la frontière. Nous prouvons l'existence de cette dernière. Nous proposons également des méthodes numériques et complétons les différents aspects théoriques par des simulations numériques.

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Cette thèse a pour objet d’étude la théorie des jeux à champs moyen. La majeure partie est consacrée à des jeux à champ moyen dans lesquels les joueurs peuvent interagir a travers la loi de leur état et de leur contrôle . nous utiliserons la terminologie jeu à champ moyen de contrôle pour désigner de tels jeux. Dans un premier temps, nous faisons une hypothèse structure, qui consiste essentiellement à dire que la dynamique optimale dépend de la loi de contrôle de façon lipschitzienne avec une constante inférieure à un. Dans ce cas, nous prouvons plusieurs résultats d’existence de solutions au système de jeu à champ moyen de contrôle, et un résultat d’unicité en temps court. Dans un second temps, nous mettons en place un schéma numérique et faisons des simulations pour des modèles de mouvement de populations. Dans un troisième temps, nous montrons l’existence et l’unicité lorsque l’interaction par le contrôle satisfait une condition de monotonie. Le dernier chapitre concerne un algorithme de résolution numérique pour des jeux à champ moyen de type variationnel et sans interaction via la loi du contrôle . nous utilisons une stratégie de préconditionnement par une méthode de multi-grille pour obtenir une convergence rapide.

Il s'agit d'un travail en cours. L'objectif est de proposer un mécanisme plausible pour la dynamique à court terme du marché pétrolier basé sur l'interaction des agents économiques. Il s'agit d'une recherche théorique qui ne vise en aucun cas à décrire tous les aspects du marché pétrolier. En particulier, nous utilisons les outils et la terminologie de la théorie des jeux, mais nous ne prétendons pas que ce jeu existe réellement dans le monde réel. En parallèle, nous étudions et calibrons actuellement un modèle à long terme pour l'industrie pétrolière, qui traite des interactions entre un monopole et une frange concurrentielle de petits producteurs. Il fait l'objet d'un autre article qui sera bientôt disponible. La présente version préliminaire ne contient pas tous les arguments économiques et toutes les connexions avec notre modèle à long terme. Elle traite principalement de la description du modèle, des équations et des simulations numériques axées sur la dynamique à court terme de l'industrie pétrolière. Une version plus complète sera bientôt disponible.

La théorie des jeux à champ moyen vise à étudier les jeux différentiels déterministes ou stochastiques (équilibres de Nash) lorsque le nombre d'agents tend vers l'infini. Comme très peu de jeux de champ moyen ont des solutions explicites ou semi-explicites, les simulations numériques jouent un rôle crucial dans l'obtention d'informations quantitatives de cette classe de modèles. Elles peuvent conduire à des systèmes d'équations aux dérivées partielles évolutives couplant une équation de Bellman à rebours et une équation de Fokker-Planck à rebours. Dans la présente étude, nous nous concentrons sur de tels systèmes. La structure avant-arrière est une caractéristique importante de ce système, qui rend nécessaire la conception de stratégies inhabituelles pour l'analyse mathématique et l'approximation numérique. Dans cette étude, plusieurs aspects d'une méthode de différences finies utilisée pour approximer le système d'EDP mentionné précédemment sont discutés, y compris la convergence, les aspects variationnels et les algorithmes pour résoudre les systèmes d'équations non linéaires résultants. Enfin, nous discutons en détail deux applications des jeux de champ moyen à l'étude du mouvement des foules et à la macroéconomie, une comparaison avec le contrôle de type champ moyen, et nous présentons des simulations numériques.

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Dans ce travail, nous étudions les jeux déterministes à champ moyen (MFGs) avec un horizon temporel fini dans lesquels la dynamique d'un agent générique est contrôlée par l'accélération. Ils sont décrits par un système d'EDP couplant une équation de continuité pour la densité de la distribution des états (en avant dans le temps) et une équation de Hamilton-Jacobi (HJ) pour la valeur optimale d'un agent représentatif (en arrière dans le temps). La variable d'état est la paire $(x, v)\in R^N\times R^N$ où x représente la position et v la vitesse. La dynamique est souvent désignée sous le nom de double intégrateur. Dans ce cas, l'hamiltonien du système n'est ni strictement convexe ni coercitif, donc les résultats disponibles sur les MFGs ne peuvent pas être appliqués. De plus, nous supposerons que l'hamiltonien est non borné par rapport à la variable de vitesse v. Nous prouvons l'existence d'une solution faible du système MFG via une méthode de viscosité évanouissante et nous caractérisons la distribution des états comme l'image de la distribution initiale par le flux associé au contrôle optimal.

Ce volume fournit une introduction à la théorie des jeux en champ moyen, suggérée par J.-M. Lasry et P.-L. Lions en 2006 comme un modèle de champ moyen pour les équilibres de Nash dans l'interaction stratégique d'un grand nombre d'agents. Outre une présentation accessible des principales caractéristiques de la théorie des jeux à champ moyen, le volume offre une vue d'ensemble des développements récents qui explorent plusieurs directions importantes : des équations aux dérivées partielles à l'analyse stochastique, du calcul des variations à la modélisation et aux aspects liés aux méthodes numériques. Issu de l'école d'été du CIME "Mean Field Games" qui s'est tenue à Cetraro en 2019, ce livre rassemble des notes de cours préparées par Y. Achdou (avec M.

Cette thèse porte sur l’étude du comportement en temps long des jeux à champ moyen (MFG) potentiels, indépendamment de la convexité du problème de minimisation associé. Pour le système hamiltonien de dimension finie, des problèmes de même nature ont été traités par la théorie KAM faible. Nous transposons de nombreux résultats de cette théorie dans le contexte des jeux à champ moyen potentiels. Tout d'abord, nous caractérisons par approximation ergodique la valeur limite associée aux systèmes MFG à horizon fini. Nous fournissons des exemples explicites dans lesquels cette valeur est strictement supérieure au niveau d’énergie des solutions stationnaires du système MFG ergodique. Cela implique que les trajectoires optimales des systèmes MFG à horizon fini ne peuvent pas converger vers des configurations stationnaires. Ensuite, nous prouvons la convergence du problème de minimisation associé à MFG à horizon fini vers une solution de l’équation Hamilton-Jacobi critique dans l’espace de mesures de probabilité. De plus, nous montrons une limite de champ moyen pour la constante ergodique associée à l’équation Hamilton-Jacobi de dimension finie correspondante. Dans la dernière partie, nous caractérisons la limite du problème de minimisation à horizon infini que nous avons utilisé pour l'approximation ergodique dans la première partie du manuscrit.

Les systèmes de jeux à champ moyen (MFG) décrivent des configurations d’équilibre dans des jeux différentiels avec un nombre infini d’agents infinitésimaux. Cette thèse s’articule autour de trois contributions différentes la théorie des jeux à champ moyen. Le but principal est d’explorer des applications et des extensions de cette théorie, et de proposer de nouvelles approches et idées pour traiter les questions mathématiques sous-jacentes. Le premier chapitre introduit en premier lieu les concepts et idées clés que nous utilisons tout au long de la thèse. Nous introduisons le problème MFG et nous expliquons brièvement le lien asymptotique avec les jeux différentiels N-joueurs lorsque N → ∞. Nous présentons ensuite nos principaux résultats et contributions. Le Chapitre 2 explore un modèle MFG avec un mode d’interaction non anticipatif (joueurs myopes). Contrairement aux modèles MFG classiques, nous considérons des agents moins rationnels qui n’anticipent pas l’évolution de l’environnement, mais observent uniquement l’état actuel du système, subissent les changements et prennent des mesures en conséquence. Nous analysons le système couplé d’EDP résultant de ce modèle, et nous établissons le lien rigoureux avec le jeu correspondant à N-Joueurs. Nous montrons que la population d’agents peut s’auto-organiser par un processus d’autocorrection et converger exponentiellement vite vers une configuration d’équilibre MFG bien connue. Les Chapitres 3 et 4 concernent l’application de la théorie MFG pour la modélisation des processus de production et commercialisation de produits avec ressources épuisables (ex. énergies fossiles). Dans le le Chapitre 3, nous proposons une approche variationnelle pour l’étude du système MFG correspondant et analysons la limite déterministe (sans fluctuations de la demande) dans un régime où les ressources sont renouvelables ou abondantes. Nous traitons dans le Chapitre 4 l’approximation MFG en analysant le lien asymptotique entre le modèle de Cournot à N-joueurs et le modèle de Cournot MFG lorsque N est grand. Enfin, le Chapitre 5 considère un modèle MFG pour l’exécution optimale d’un portefeuille d’actifs dans un marché financier. Nous explicitons notre modèle MFG et analysons le système d’EDP résultant, puis nous proposons une méthode numérique pour calculer la stratégie d’exécution optimale pour un agent étant donné son inventaire initial, et présentons plusieurs simulations. Par ailleurs, nous analysons l’influence de l’activité de trading sur la variation intraday de la matrice de covariance des rendements des actifs. Ensuite, nous vérifions nos conclusions et calibrons notre modèle en utilisant des données historiques des transactions pour un pool de 176 actions américaines.

Dans ce travail, nous étudions les jeux déterministes à champ moyen (MFGs) avec un horizon temporel fini dans lesquels la dynamique d'un agent générique est contrôlée par l'accélération. Ils sont décrits par un système d'EDP couplant une équation de continuité pour la densité de la distribution des états (en avant dans le temps) et une équation de Hamilton-Jacobi (HJ) pour la valeur optimale d'un agent représentatif (en arrière dans le temps). La variable d'état est la paire $(x, v)\in R^N\times R^N$ où x représente la position et v la vitesse. La dynamique est souvent désignée sous le nom de double intégrateur. Dans ce cas, l'hamiltonien du système n'est ni strictement convexe ni coercitif, donc les résultats disponibles sur les MFGs ne peuvent pas être appliqués. De plus, nous supposerons que l'hamiltonien est non borné par rapport à la variable de vitesse v. Nous prouvons l'existence d'une solution faible du système MFG via une méthode de viscosité évanouissante et nous caractérisons la distribution des états comme l'image de la distribution initiale par le flux associé au contrôle optimal.

Nous considérons une classe de problèmes de contrôle optimal stochastique en boucle fermée dans un horizon temporel fini, dans lesquels le coût est une espérance conditionnelle au fait que le processus n'est pas sorti d'un domaine borné donné. Une difficulté importante est que la probabilité de l'événement qui conditionne la stratégie décroît avec la croissance du temps. Les conditions d'optimalité consistent en un système d'équations aux dérivées partielles, comprenant une équation de Hamilton-Jacobi-Bellman (en arrière par rapport au temps) et une équation de Fokker-Planck (en avant par rapport au temps) pour la loi du processus conditionné. Les deux équations sont complétées par des conditions de Dirichlet. Ensuite, nous discutons du comportement asymptotique lorsque l'horizon temporel tend vers`8. Ceci conduit à un nouveau type de problème de contrôle optimal piloté par un problème de valeur propre lié à une équation de continuité avec des conditions de Dirichlet sur la frontière. Nous prouvons l'existence de cette dernière. Nous proposons également des méthodes numériques et complétons les différents aspects théoriques par des simulations numériques.

Nous considérons des jeux stochastiques à champ moyen à horizon fini dans lesquels l'espace d'état est un réseau. Ils sont décrits par un système couplant une équation de Hamilton-Jacobi-Bellman à rebours dans le temps et une équation de Fokker-Planck à rebours dans le temps. La fonction de valeur u est continue et satisfait des conditions générales de Kirchhoff aux sommets. La densité m de la distribution d'états satisfait des conditions de transmission doubles : en particulier, m est généralement discontinue aux sommets, et les valeurs de m de part et d'autre des sommets satisfont des conditions de compatibilité spéciales. L'accent est mis sur le cas où l'hamiltonien est Lipschitz continu.

Nous considérons une famille de problèmes de contrôle optimal dans le plan avec une dynamique et des coûts de fonctionnement éventuellement discontinus à travers une interface oscillatoire à deux échelles. Typiquement, l'amplitude des oscillations est de l'ordre de ε tandis que la période est de l'ordre de ε 2. Lorsque ε → 0, les interfaces tendent vers une droite Γ. Nous étudions le comportement asymptotique de la fonction de valeur lorsque ε → 0. Nous prouvons que la fonction de valeur tend vers la solution des équations de Hamilton-Jacobi dans les deux demi-plans limités par Γ, avec une condition de transmission effective sur Γ gardant la trace des oscillations.

Nous considérons des jeux stochastiques à champ moyen pour lesquels l'espace d'état est un réseau. Dans le cas ergodique, ils sont décrits par un système couplant une équation de Hamilton-Jacobi-Bellman et une équation de Fokker-Planck, dont les inconnues sont la mesure invariante m, une fonction de valeur u, et la constante ergodique ρ. La fonction u est continue et satisfait les conditions générales de Kirchhoff aux sommets. La mesure invariante m satisfait des conditions de transmission doubles : en particulier, m est discontinue à travers les sommets en général, et les valeurs de m de chaque côté des sommets satisfont des conditions de compatibilité spéciales.

Cette thèse porte sur l’étude de nouveaux modèles de jeux à champ moyen. On étudie dans un premier temps des modèles d’arrêt optimal et de contrôle impulsionnel en l’absence de bruit commun. On construit pour ces modèles une notion de solution adaptée pour laquelle on prouve des résultats d’existence et d’unicité sous des hypothèses naturelles. Ensuite, on s’intéresse à plusieurs propriétés des jeux à champ moyen. On étudie la limite de ces modèles vers des modèles d’évolution pures lorsque l’anticipation des joueurs tend vers 0. On montre l’unicité des équilibres pour des systèmes fortement couples (couples par les stratégies) sous certaines hypothèses. On prouve ensuite certains résultats de régularités sur une ”master equation” qui modélise un jeu à champ moyen avec bruit commun dans un espace d’états discret. Par la suite on présente une généralisation de l’algorithme standard d’Uzawa et on l’applique à la résolution numérique de certains modèles de jeux à champ moyen, notamment d’arrêt optimal ou de contrôle impulsionnel. Enfin on présente un cas concret de jeu à champ moyen qui provient de problèmes faisant intervenir un grand nombre d’appareils connectés dans les télécommunications.

Les jeux à champ moyen (MFG) sont une classe de jeux différentiels dans lequel chaque agent est infinitésimal et interagit avec une énorme population d'agents. Dans cette thèse, nous soulevons la question de la formation effective de l'équilibre MFG. En effet, le jeu étant très complexe, il est irréaliste de supposer que les agents peuvent réellement calculer la configuration d'équilibre. Cela semble indiquer que si la configuration d'équilibre se présente, c'est parce que les agents ont appris à jouer au jeu. Donc, la question principale est de trouver des procédures d'apprentissage dans les jeux à champ moyen et d'analyser leurs convergences vers un équilibre. Nous nous sommes inspirés par des schémas d'apprentissage dans les jeux statiques et avons essayé de les appliquer à notre modèle dynamique de MFG. Nous nous concentrons particulièrement sur les applications de fictitious play et online mirror descent sur différents types de jeux de champs moyens : Potentiel, Monotone ou Discret.

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Nous considérons une classe de systèmes d'équations différentielles partielles dépendantes du temps qui apparaissent dans des modèles de type champ moyen avec congestion. Ces systèmes couplent une équation de Hamilton-Jacobi visqueuse en arrière et une équation de Kolmogorov en avant, toutes deux posées dans (0, T) × (R N /Z N). En raison de la congestion et par contraste avec des cas plus simples, ce dernier système ne peut jamais être considéré comme les conditions d'optimalité d'un problème de contrôle optimal piloté par une équation aux dérivées partielles. L'hamiltonien disparaît lorsque la densité tend vers +∞ et peut même ne pas être défini dans les régions où la densité est nulle. Après avoir donné une définition appropriée des solutions faibles, nous prouvons les résultats d'existence et d'unicité de ces dernières sous des hypothèses assez générales. Aucune restriction n'est faite sur l'horizon T .

Cette thèse porte sur l'étude d'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman associées à des problèmes de contrôle optimal et de jeux à champ moyen avec la particularité qu'on se place sur un réseau (c'est-à-dire, des ensembles constitués d'arêtes connectées par des jonctions) dans les deux problèmes, pour lesquels on autorise différentes dynamiques et différents coûts dans chaque bord d'un réseau. Dans la première partie de cette thèse, on considère un problème de contrôle optimal sur les réseaux dans l'esprit des travaux d'Achdou, Camilli, Cutrì & Tchou (2013) et Imbert, Moneau & Zidani (2013). La principale nouveauté est qu'on rajoute des coûts d'entrée (ou de sortie) aux sommets du réseau conduisant à une éventuelle discontinuité de la fonction valeur. Celle-ci est caractérisée comme l'unique solution de viscosité d'une équation Hamilton-Jacobi pour laquelle une condition de jonction adéquate est établie. L'unicité est une conséquence d'un principe de comparaison pour lequel nous donnons deux preuves différentes, l'une avec des arguments tirés de la théorie du contrôle optimal, inspirée par Achdou, Oudet & Tchou (2015) et l'autre basée sur les équations aux dérivées partielles, d'après Lions & Souganidis (2017). La deuxième partie concerne les jeux à champ moyen stochastiques sur les réseaux. Dans le cas ergodique, ils sont décrits par un système couplant une équation de Hamilton-Jacobi-Bellman et une équation de Fokker- Planck, dont les inconnues sont la densité m de la mesure invariante qui représente la distribution des joueurs, la fonction valeur v qui provient d'un problème de contrôle optimal "moyen" et la constante ergodique ρ. La fonction valeur v est continue et satisfait dans notre problème des conditions de Kirchhoff aux sommets très générales. La fonction m satisfait deux conditions de transmission aux sommets. En particulier, due à la généralité des conditions de Kirchhoff, m est en général discontinue aux sommets. L'existence et l'unicité d'une solution faible sont prouvées pour des Hamiltoniens sous-quadratiques et des hypothèses très générales sur le couplage. Enfin, dans la dernière partie, nous étudions les jeux à champ moyen stochastiques non stationnaires sur les réseaux. Les conditions de transition pour la fonction de valeur v et la densité m sont similaires à celles données dans la deuxième partie. Là aussi, nous prouvons l'existence et l'unicité d'une solution faible pour des Hamiltoniens sous-linéaires et des couplages et dans le cas d'un couplage non-local régularisant et borné inférieurement. La principale difficulté supplémentaire par rapport au cas stationnaire, qui nous impose des hypothèses plus restrictives, est d'établir la régularité des solutions du système posé sur un réseau. Notre approche consiste à étudier la solution de l'équation de Hamilton-Jacobi dérivée pour gagner de la régularité sur la solution de l'équation initiale.

Nous considérons une classe de systèmes d'équations différentielles partielles dépendantes du temps qui apparaissent dans des modèles de type champ moyen avec congestion. Ces systèmes couplent une équation de Hamilton-Jacobi visqueuse en arrière et une équation de Kolmogorov en avant, toutes deux posées dans (0, T) × (R N /Z N). En raison de la congestion et par contraste avec des cas plus simples, ce dernier système ne peut jamais être considéré comme les conditions d'optimalité d'un problème de contrôle optimal piloté par une équation aux dérivées partielles. L'hamiltonien disparaît lorsque la densité tend vers +∞ et peut même ne pas être défini dans les régions où la densité est nulle. Après avoir donné une définition appropriée des solutions faibles, nous prouvons les résultats d'existence et d'unicité de ces dernières sous des hypothèses assez générales. Aucune restriction n'est faite sur l'horizon T .

Cet article présente et analyse certains modèles dans le cadre des jeux de champ moyen décrivant les interactions entre deux populations. Ces modèles sont motivés par les études sur les établissements urbains et le choix résidentiel de Thomas Schelling. Pour les jeux statiques, une limite de grande population est prouvée. Pour les jeux différentiels avec bruit, l'existence de solutions est établie pour les systèmes d'équations aux dérivées partielles de la théorie des jeux de champ moyen, dans le cas stationnaire et dans le cas évolutif. Des méthodes numériques sont proposées, avec plusieurs simulations. Dans les exemples et dans les résultats numériques, un accent particulier est mis sur le phénomène de ségrégation entre les populations.

Cette thèse est composée de deux parties dans lesquelles nous étudions d'une part des estimations d'erreurs pour des schémas numériques associés à des équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre. D'autre part, nous nous intéressons a l'étude de la stabilité et de la contrôlabilité exacte frontière indirecte des équations d'onde couplées.Dans un premier temps, en utilisant la technique de Crandall-Lions, nous établissons une estimation d'erreur d'un schéma numérique monotone aux différences finies pour des conditions de jonction dites a flux limité, pour une équation de Hamilton-Jacobi du premier ordre. Ensuite, nous montrons que ce schéma numérique peut être généralisé à des conditions de jonction générales. Nous établissons alors la convergence de la solution discrétisée vers la solution de viscosité du problème continu. Enfin, nous proposons une nouvelle approche, à la Crandall-Lions, pour améliorer les estimations d'erreur déjà obtenues, pour une classe des Hamiltoniens bien choisis. Cette approche repose sur l'interprétation du type contrôle optimal de l'équation de Hamilton-Jacobi considérée.Dans un second temps, nous étudions la stabilisation et la contrôlabilité exacte frontière indirecte d'un système monodimensionnel d’équations d'ondes couplées. D'abord, nous considérons le cas d'un couplage avec termes de vitesses, et par une méthode spectrale, nous montrons que le système est exactement contrôlable moyennant un seul contrôle à la frontière. Les résultats dépendent de la nature arithmétique du quotient des vitesses de propagation et de la nature algébrique du terme de couplage. De plus, ils sont optimaux. Ensuite, nous considérons le cas d'un couplage d'ordre zéro et nous établissons un taux polynômial optimal de la décroissance de l'énergie. Enfin, nous montrons que le système est exactement contrôlable moyennant un seul contrôle à la frontière.

La théorie des jeux à champ moyen fut introduite en 2006 par Jean-Michel Lasry et Pierre-Louis Lions. Elle permet l'étude de la théorie des jeux dans certaines configurations où le nombre de joueurs est trop grand pour espérer une résolution pratique. Nous étudions la théorie des jeux à champ moyen sur les graphes en nous appuyant sur les travaux d'Olivier Guéant que nous étendrons à des formes plus générales d'Hilbertien. Nous étudierons aussi les liens qui existent entres les K-moyennes et les jeux à champ moyen ce qui permettra en principe de proposer de nouveaux algorithmes pour les K-moyennes grâce aux techniques de résolution numérique propres aux jeux à champ moyen. Enfin nous étudierons un jeu à champ moyen à savoir le problème "d'heure de début d'une réunion" en l'étendant à des situations où les agents peuvent choisir entre deux réunions. Nous étudierons de manière analytique et numérique l'existence et la multiplicité des solutions de ce problème.

Ce travail traite d'une méthode numérique pour résoudre un problème de contrôle de type champ moyen avec congestion. Il s'agit de la suite d'un article des mêmes auteurs, dans lequel des solutions faibles convenablement définies du système d'équations aux dérivées partielles découlant du modèle ont été discutées et l'existence et l'unicité ont été prouvées. Ici, l'accent est mis sur les méthodes numériques : un schéma monotone de différences finies est proposé et on montre qu'il a une interprétation variationnelle. On aborde ensuite une méthode des multiplicateurs à direction alternée pour résoudre le problème variationnel. Elle est basée sur un Lagrangien augmenté. Deux types de conditions aux limites sont considérés : les conditions périodiques et les conditions aux limites plus réalistes associées aux problèmes de contraintes d'état. Divers cas d'essai et résultats numériques sont présentés.

Nous analysons certains systèmes d'équations aux dérivées partielles apparaissant dans la théorie du contrôle de type champ moyen avec effets de congestion. Nous recherchons des solutions faibles. Notre résultat principal est l'existence et l'unicité de solutions faibles convenablement définies, qui sont caractérisées comme les optima de deux problèmes de contrôle optimal en dualité.

Ce travail traite d'une méthode numérique pour résoudre un problème de contrôle de type champ moyen avec congestion. Il s'agit de la suite d'un article des mêmes auteurs, dans lequel des solutions faibles convenablement définies du système d'équations aux dérivées partielles découlant du modèle ont été discutées et l'existence et l'unicité ont été prouvées. Ici, l'accent est mis sur les méthodes numériques : un schéma monotone de différences finies est proposé et on montre qu'il a une interprétation variationnelle. On aborde ensuite une méthode des multiplicateurs à direction alternée pour résoudre le problème variationnel. Elle est basée sur un Lagrangien augmenté. Deux types de conditions aux limites sont considérés : les conditions périodiques et les conditions aux limites plus réalistes associées aux problèmes de contraintes d'état. Divers cas d'essai et résultats numériques sont présentés.

Un modèle parcimonieux à long terme est proposé pour une industrie minière. Connaissant la dynamique de la réserve globale, la stratégie de chaque unité de production consiste en un problème de contrôle optimal avec deux contrôles, d'abord le flux investi dans la prospection et la construction de nouvelles installations d'extraction, ensuite le taux de production. A son tour, la dynamique de la réserve globale dépend des stratégies individuelles des producteurs, de sorte que les modèles conduisent à un équilibre, qui est décrit par des systèmes d'équations différentielles partielles de faible dimension. La dimen-sionnalité dépend du nombre de technologies qu'un producteur minier peut choisir. Dans certains cas, les systèmes peuvent être réduits à une équation de Hamilton-Jacobi qui est dégénérée à la frontière et dont le côté droit peut exploser à la frontière. Une analyse mathématique est fournie. Ensuite, des simulations numériques pour des modèles avec une ou deux technologies sont décrites. En particulier, une calibration numérique du modèle afin de s'adapter aux données historiques est effectuée.

Nous considérons une famille de problèmes de contrôle optimal dans le plan avec une dynamique et des coûts de fonctionnement éventuellement discontinus à travers une interface oscillante $\Gamma_\epsilon$. Les oscillations de l'interface ont une période et une amplitude faibles, toutes deux de l'ordre de $\epsilon$, et les interfaces $\Gamma_\epsilon$ tendent vers une ligne droite $\Gamma$. Nous étudions le comportement asymptotique lorsque $\epsilon\à 0$. Nous prouvons que la fonction de valeur tend vers la solution des équations de Hamilton-Jacobi dans les deux demi-plans limités par $\Gamma$, avec une condition de transmission effective sur $\Gamma$ permettant de suivre les oscillations de $\Gamma_\epsilon$.

Dans ce travail, on étudie l'homogénéisation de quelques problèmes de propagations de fronts dans des milieux stationnaires et ergodiques. Dans la première partie, on étudie l'homogénéisation stochastique de quelques problèmes de propagations de fronts non-locaux. En particulier, on donne une version non-locale de la méthode de la fonction test perturbée d'Evans. La deuxième partie est consacrée à l'approximation numérique du Hamiltonien effectif qui découle de l'homogénéisation stochastique des équations de Hamilton-Jacobi. On établit des estimations d'erreurs entre les solutions numériques et l'Hamiltonien effectif. Dans la troisième partie, on s'intéresse à l'homogénéisation stochastique de problèmes de propagations de fronts qui évoluent dans la direction normale avec une vitesse qui peut être non bornée. On montre des résultats d'homogénéisation dans le cas des milieux i.i.d.

Nous considérons un problème de transmission dans lequel le domaine intérieur a des structures infiniment ramifiées. La transmission entre les domaines intérieur et extérieur ne se produit qu'au niveau de la composante fractale de l'interface entre les domaines intérieur et extérieur. Nous considérons également la séquence des problèmes de transmission dans laquelle le domaine intérieur est obtenu en arrêtant la construction auto-similaire après un nombre fini d'étapes. La condition de transmission est alors posée sur une approximation préfractale de l'interface fractale. Nous prouvons la convergence au sens de Mosco des formes énergétiques associées à ces problèmes vers la forme énergétique du problème limite. En particulier, cela implique la convergence des solutions des problèmes approchés vers la solution du problème avec interface fractale. La preuve s'appuie notamment sur une propriété d'extension. L'accent est mis sur la géométrie du domaine ramifié. Le résultat de convergence est obtenu lorsque l'interface fractale n'a pas d'auto-contact, et dans une géométrie particulière avec auto-contacts, pour laquelle un résultat d'extension est prouvé.

Cet article présente et analyse certains modèles dans le cadre des jeux de champ moyen décrivant les interactions entre deux populations. Ces modèles sont motivés par les études sur les établissements urbains et le choix résidentiel de Thomas Schelling. Pour les jeux statiques, une limite de grande population est prouvée. Pour les jeux différentiels avec bruit, l'existence de solutions est établie pour les systèmes d'équations aux dérivées partielles de la théorie des jeux de champ moyen, dans le cas stationnaire et dans le cas évolutif. Des méthodes numériques sont proposées, avec plusieurs simulations. Dans les exemples et dans les résultats numériques, un accent particulier est mis sur le phénomène de ségrégation entre les populations.

Cette thèse porte sur la modélisation, l’analyse et l’analyse numérique des équations aux dérivées partielles non-linéaires et non-locales avec des applications au trafic routier. Le trafic routier peut être modélisé à des différentes échelles. En particulier, on peut considérer l’échelle microscopique qui décrit la dynamique de chaque véhicule individuellement et l’échelle macroscopique qui voit le trafic comme un fluide et qui décrit le trafic en utilisant des quantités macroscopiques comme la densité des véhicules et la vitesse moyenne. Dans cette thèse, en utilisant la théorie des solutions de viscosité, on fait le passage entre les modèles microscopiques et les modèles macroscopiques. L’intérêt de ce passage est que les modèles microscopiques sont plus intuitifs et faciles à manipuler pour simuler des situations particulières (bifurcations, feux tricolores,.) mais ils ne sont pas adaptés à des grosses simulations (pour simuler le trafic dans toute une ville par exemple). Au contraire, les modèles macroscopiques sont moins évidents à modifier (pour simuler une situation particulière) mais ils peuvent être utilisés pour des simulations à grande échelle. L’idée est donc de trouver le modèle macroscopique équivalent à un modèle microscopique qui décrit un scénario précis (une jonction, une bifurcation, des différents types de conducteurs, une zone scolaire,.). La première partie de cette thèse contient un résultat d’homogénéisation et d’homogénéisation numérique pour un modèle microscopique avec différents types de conducteurs. Dans une seconde partie, on obtient des résultats d’homogénéisation et d’homogénéisation numérique pour des modèles microscopiques con- tenant une perturbation locale (ralentisseur, zone scolaire,.). Finalement, on présente un résultat d’homogénéisation dans le cadre d’une bifurcation.

Les auteurs passent en revue certains aspects importants de la modélisation financière impliquant des équations aux dérivées partielles et se concentrent sur les algorithmes numériques permettant d'évaluer rapidement et précisément les produits financiers dérivés et de calibrer les paramètres. Ce livre explore les meilleurs algorithmes numériques et les discute en profondeur, depuis leur analyse mathématique jusqu'à leur implémentation en C++ avec des bibliothèques numériques efficaces.

Nous analysons certains systèmes d'équations aux dérivées partielles apparaissant dans la théorie du contrôle de type champ moyen avec effets de congestion. Nous recherchons des solutions faibles. Notre résultat principal est l'existence et l'unicité de solutions faibles convenablement définies, qui sont caractérisées comme les optima de deux problèmes de contrôle optimal en dualité.

Des modèles de type champ moyen décrivant le comportement limite des jeux différentiels stochastiques lorsque le nombre de joueurs tend vers +∞, ont été récemment introduits par J-M. Lasry et P-L. Lions. Sous des hypothèses appropriées, ils conduisent à un système de deux équations aux dérivées partielles couplées, une équation de Bellman en avant et une équation de Fokker-Planck en arrière. Des schémas de différences finies pour l'approximation de tels systèmes ont été proposés dans des travaux précédents. Ici, nous prouvons la convergence de ces schémas vers une solution faible du système d'équations aux dérivées partielles.

Nous considérons des problèmes de contrôle à l'état continu et en temps continu où les trajectoires admissibles du système sont contraintes de rester sur un réseau. Une notion de solution de viscosité des équations de Hamilton-Jacobi sur le réseau a été proposée dans des articles précédents. Ici, nous proposons une preuve simple d'un principe de comparaison basé sur des arguments de la théorie du contrôle optimal. Nous discutons également de la stabilité des solutions de viscosité.

Le travail de cette thèse a porté sur le développement de techniques numériques pour l'homogénéisation d'équations dont les coefficients présentent des hétérogénéités aléatoires à petite échelle. Les difficultés liées à la résolution de telles équations aux dérivées partielles peuvent être résolues grâce à la théorie de l'homogénéisation stochastique. On substitue alors la résolution d'une équation dont les coefficients sont aléatoires et oscillants à l'échelle la plus fine du problème par la résolution d'une équation à coefficients constants. Cependant, une difficulté subsiste : le calcul de ces coefficients dits homogénéisés sont définis par une moyenne ergodique, que l'on ne peut atteindre en pratique. Seuls des approximations aléatoires de ces quantités déterministes sont calculables, et l'erreur commise lors de l'approximation est importante. Ces questions sont développées en détail dans le Chapitre 1 qui tient lieu d'introduction. L'objet du Chapitre 2 de cette thèse est de réduire l'erreur de cette approximation dans un cas nonlinéaire, en réduisant la variance de l'estimateur par la méthode des variables antithétiques. Dans le Chapitre 3, on montre comment obtenir une meilleure réduction de variance par la méthode des vari- ables de contrôle. Cette approche repose sur un modèle approché, disponible dans le cas étudié. Elle est plus invasive et moins générique, on l'étudie dans un cas linéaire. Dans le Chapitre 4, à nouveau dans un cas linéaire, on introduit une méthode de sélection pour réduire l'erreur commise. Enfin, le Chapitre 5 porte sur l'analyse d'un problème in- verse, où l'on recherche des paramètres à l'échelle la plus fine, ne connaissant que quelques quantités macroscopiques, par exemple les coefficients homogénéisés du modèle.

Nous considérons une famille de domaines ouverts en forme d'étoile constituée d'un nombre fini de demi-lignes non sécantes de faible épaisseur et d'une région centrale dont le diamètre est du même ordre d'épaisseur, que l'on peut appeler la jonction. Lorsque l'épaisseur tend vers 0, les domaines tendent vers une union de demi-lignes partageant une extrémité. Cet ensemble est appelé "réseau". Nous étudions les problèmes de contrôle optimal à horizon infini dans lesquels l'état est contraint de rester dans les domaines en forme d'étoile. Dans les bandes mentionnées ci-dessus, le coût de fonctionnement peut avoir une variation rapide en fonction de la coordonnée transversale. Lorsque l'épaisseur tend vers 0, nous prouvons que la fonction de valeur tend vers la solution d'une équation de Hamilton-Jacobi sur le réseau, qui peut également être liée à un problème de contrôle optimal. Une difficulté consiste à trouver la condition de transmission au nœud de jonction dans le problème limite. Pour le passage à la limite, nous utilisons la méthode des fonctions-test perturbées d'Evans, qui nécessite de construire des correcteurs appropriés. Ceci constitue une autre difficulté puisque le domaine est non borné.

Nous considérons une famille de problèmes de contrôle optimal dans le plan avec une dynamique et des coûts de fonctionnement éventuellement discontinus à travers une interface oscillante Γ ε. Les oscillations de l'interface ont une petite période et amplitude, toutes deux de l'ordre de ε, et les interfaces Γ ε tendent vers une ligne droite Γ. Nous étudions le comportement asymptotique lorsque ε → 0. Nous prouvons que la fonction de valeur tend vers la solution des équations de Hamilton-Jacobi dans les deux demi-plans limités par Γ, avec une condition de transmission effective sur Γ gardant la trace des oscillations de Γ ε .

Cette thèse porte sur l'étude de problèmes de contrôle optimal sur des réseaux (c'est-à-dire des ensembles constitués de sous-régions reliées entre elles par des jonctions), pour lesquels on autorise différentes dynamiques et différents coûts instantanés dans chaque sous-région du réseau. Comme dans les cas plus classiques, on aimerait pouvoir caractériser la fonction valeur d'un tel problème de contrôle par le biais d'une équation de Hamilton-Jacobi-Bellman. Cependant, les singularités géométriques du domaine, ainsi que les discontinuités des données ne nous permettent pas d'appliquer la théorie classique des solutions de viscosité. Dans la première partie de cette thèse nous prouvons que les fonctions valeurs de problèmes de contrôle optimal définis sur des réseaux 1-dimensionnel sont caractérisées par de telles équations. Dans la seconde partie les résultats précédents sont étendus au cas de problèmes de contrôle définis sur une jonction 2-dimensionnelle. Enfin, dans une dernière partie, nous utilisons les résultats obtenus précédemment pour traiter un problème de perturbation singulière impliquant des problèmes de contrôle optimal dans le plan pour lesquels les dynamiques et les coûts instantanés peuvent être discontinus à travers une frontière oscillante.

Nous discutons du système d'équations de Fokker-Planck et de Hamilton-Jacobi-Bellman découlant du contrôle à horizon fini de la dynamique de McKean-Vlasov.

Nous discutons du système d'équations de Fokker-Planck et de Hamilton-Jacobi-Bellman découlant du contrôle à horizon fini de la dynamique de McKean-Vlasov.

Le but de cet article est d'intéresser les mathématiciens à l'étude d'un certain nombre d'EDP qui apparaissent naturellement en macroéconomie. Ces EDP proviennent de modèles conçus pour étudier certaines des questions les plus importantes en économie. En même temps, elles sont très intéressantes pour les mathématiciens car leur structure est souvent assez difficile. Nous présentons un certain nombre d'exemples de ces EDP, discutons de ce que l'on sait de leurs propriétés, et listons quelques questions ouvertes pour les recherches futures.

Le but de cet article est d'intéresser les mathématiciens à l'étude d'un certain nombre d'équations aux dérivées partielles (EDP) qui apparaissent naturellement en macroéconomie. Ces EDP proviennent de modèles conçus pour étudier certaines des questions les plus importantes en économie. En même temps, elles sont très intéressantes pour les mathématiciens car leur structure est souvent assez difficile. Nous présentons un certain nombre d'exemples de ces EDP, discutons de ce que l'on sait de leurs propriétés et énumérons quelques questions ouvertes pour les recherches futures.

Dans le présent article, nous étudions l'approximation numérique d'un système d'équations de Hamilton-Jacobi et de transport apparaissant en optique géométrique. Nous considérons un schéma semi-lagrangien. Nous prouvons que le problème discret est bien posé et que la solution approchée converge vers la solution du problème exact évaluée par la mesure de viscosité.

Équations de Hamilton-Jacobi sur les réseaux comme limites de problèmes singulièrement perturbés.

Ce travail de thèse aborde deux sujets : (i) L'utilisation d'une nouvelle méthode numérique pour l'évaluation des options sur un panier d'actifs, (ii) Le risque de liquidité, la modélisation du carnet d'ordres et la microstructure de marché. Premier thème : Un algorithme glouton et ses applications pour résoudre des équations aux dérivées partielles. L'exemple typique en finance est l'évaluation d'une option sur un panier d'actifs, laquelle peut être obtenue en résolvant l'EDP de Black-Scholes ayant comme dimension le nombre d'actifs considérés. Nous proposons d'étudier un algorithme qui a été proposé et étudié récemment dans [ACKM06, BLM09] pour résoudre des problèmes en grande dimension et essayer de contourner la malédiction de la dimension. L'idée est de représenter la solution comme une somme de produits tensoriels et de calculer itérativement les termes de cette somme en utilisant un algorithme glouton. La résolution des EDP en grande dimension est fortement liée à la représentation des fonctions en grande dimension. Dans le Chapitre 1, nous décrivons différentes approches pour représenter des fonctions en grande dimension et nous introduisons les problèmes en grande dimension en finance qui sont traités dans ce travail de thèse. La méthode sélectionnée dans ce manuscrit est une méthode d'approximation non-linéaire appelée Proper Generalized Decomposition (PGD). Le Chapitre 2 montre l'application de cette méthode pour l'approximation de la solution d'une EDP linéaire (le problème de Poisson) et pour l'approximation d'une fonction de carré intégrable par une somme des produits tensoriels. Un étude numérique de ce dernier problème est présenté dans le Chapitre 3. Le problème de Poisson et celui de l'approximation d'une fonction de carré intégrable serviront de base dans le Chapitre 4 pour résoudre l'équation de Black-Scholes en utilisant l'approche PGD. Dans des exemples numériques, nous avons obtenu des résultats jusqu'en dimension 10. Outre l'approximation de la solution de l'équation de Black-Scholes, nous proposons une méthode de réduction de variance des méthodes Monte Carlo classiques pour évaluer des options financières. Second thème : Risque de liquidité, modélisation du carnet d'ordres, microstructure de marché. Le risque de liquidité et la microstructure de marché sont devenus des sujets très importants dans les mathématiques financières. La dérégulation des marchés financiers et la compétition entre eux pour attirer plus d'investisseurs constituent une des raisons possibles. Dans ce travail, nous étudions comment utiliser cette information pour exécuter de façon optimale la vente ou l'achat des ordres. Les ordres peuvent seulement être placés dans une grille des prix. A chaque instant, le nombre d'ordres en attente d'achat (ou vente) pour chaque prix est enregistré. Dans [AFS10], Alfonsi, Fruth et Schied ont proposé un modèle simple du carnet d'ordres. Dans ce modèle, il est possible de trouver explicitement la stratégie optimale pour acheter (ou vendre) une quantité donnée d'actions avant une maturité. L'idée est de diviser l'ordre d'achat (ou de vente) dans d'autres ordres plus petits afin de trouver l'équilibre entre l'acquisition des nouveaux ordres et leur prix. Ce travail de thèse se concentre sur une extension du modèle du carnet d'ordres introduit par Alfonsi, Fruth et Schied. Ici, l'originalité est de permettre à la profondeur du carnet d'ordres de dépendre du temps, ce qui représente une nouvelle caractéristique du carnet d'ordres qui a été illustré par [JJ88, GM92, HH95, KW96]. Dans ce cadre, nous résolvons le problème de l'exécution optimale pour des stratégies discrètes et continues. Ceci nous donne, en particulier, des conditions suffisantes pour exclure les manipulations des prix au sens de Huberman et Stanzl [HS04] ou de Transaction-Triggered Price Manipulation (voir Alfonsi, Schied et Slynko).

Pas de résumé disponible.

Cette thèse est consacrée à des questions d'analyse en amont de la modélisation de structures arborescentes, comme le poumon humain. Plus particulièrement, nous portons notre intérêt sur une classe de domaines ramifiés du plan, dont la frontière comporte une partie fractale auto-similaire. Nous commençons par une étude d'espaces de fonctions dans cette classe de domaines. Nous étudions d'abord la régularité Sobolev de la trace sur la partie fractale de la frontière de fonctions appartenant à des espaces de Sobolev dans les domaines considérés. Nous étudions ensuite l'existence d'opérateurs de prolongement sur la classe de domaines ramifiés. Nous comparons finalement la notion de trace auto-similaire sur la partie fractale du bord à des définitions plus classiques de trace. Nous nous intéressons enfin à un problème de transmission mixte entre le domaine ramifié et le domaine extérieur. L'interface du problème est la partie fractale du bord du domaine. Nous proposons ici une approche numérique, en approchant l'interface fractale par une interface préfractale. La stratégie proposée ici est basée sur le couplage d'une méthode auto-similaire pour la résolution du problème intérieur et d'une méthode intégrale pour la résolution du problème extérieur.

Pas de résumé disponible.

Des modèles de type champ moyen décrivant le comportement limite, lorsque le nombre de joueurs tend vers $+\infty$, de problèmes de jeux différentiels stochastiques, ont été récemment introduits par J-M. Lasry et P-L. Lions. Des méthodes numériques pour l'approximation des versions stationnaire et évolutive de tels modèles ont été proposées par les auteurs dans des travaux antérieurs. Les théorèmes de convergence de ces méthodes sont prouvés sous diverses hypothèses.

Nous considérons une classe de domaines bidimensionnels ramifiés avec une frontière autosimilaire, qui est fournie avec la mesure de probabilité autosimilaire. Nous comparons deux notions de trace sur la frontière fractale pour des fonctions dans un espace de Sobolev, la définition classique (la définition stricte) et une autre proposée en 2007 et qui s'appuie fortement sur l'auto-similarité. Nous prouvons que les deux traces coïncident presque partout par rapport à la mesure de probabilité autosimilaire.

Nous considérons des problèmes de contrôle à l'état continu et en temps continu où les trajectoires admissibles du système sont contraintes de rester sur un réseau. Dans notre cadre, la fonction de valeur est continue. Nous définissons une notion de solution de viscosité contrainte des équations de Hamilton-Jacobi sur le réseau et nous étudions les principes de comparaison associés. Sous des hypothèses appropriées, nous prouvons en particulier que la fonction de valeur est l'unique solution de viscosité contrainte de l'équation de Hamilton-Jacobi sur le réseau.

Ces notes de cours contiennent le matériel relatif aux cours donnés à l'école d'été du CIME qui s'est tenue à Cetraro, Italie, du 29 août au 3 septembre 2011. Le sujet était "Équations de Hamilton-Jacobi : Approximations, analyse numérique et applications". Les cours portaient principalement sur les sujets suivants : équations de Hamilton-Jacobi-Bellman du premier et du second ordre, propriétés des solutions de viscosité, comportements asymptotiques, jeux de champ moyen, méthodes d'approximation et numériques, analyse idempotente. Le contenu des cours allait d'une introduction aux solutions de viscosité à des sujets assez avancés, à la pointe de la recherche dans le domaine. Nous pensons qu'ils ont ouvert des perspectives sur des questions nouvelles et délicates. Ces notes de cours contiennent quatre contributions de Yves Achdou (Finite Difference Methods for Mean Field Games), Guy Barles (An Introduction to the Theory of Viscosity Solutions for First-order Hamilton-Jacobi Equations and Applications), Hitoshi Ishii (A Short Introduction to Viscosity Solutions and the Large Time Behavior of Solutions of Hamilton-Jacobi Equations) et Grigory Litvinov (Idempotent/Tropical Analysis, the Hamilton-Jacobi and Bellman Equations).

Cette thèse regroupe plusieurs travaux relatifs à la résolution numérique d'équations aux dérivées partielles et d'équations intégro-différentielles issues de la modélisation stochastique de produits financiers. La première partie des travaux est consacrée aux méthodes de Sparse Grid appliquées à la résolution numérique d'équations en dimension supérieure à trois. Deux types de problèmes sont abordés. Le premier concerne l'évaluation d'options vanilles dans un modèle à sauts avec une volatilité stochastique multi-facteurs. La résolution numérique de l'équation de valorisation, posée en dimension est obtenue à l'aide d'une méthode de différences finies sparse et d'une méthode de collocation pour la discrétisation de l'opérateur intégral. Le second problème traite de l'évaluation de produits sur un panier de plusieurs sous-jacents. Il nécessite le recours à une méthode de Galerkin sur une base d'ondelettes obtenue à l'aide d'un produit tensoriel sparse La seconde partie des travaux concerne des estimations d'erreur a posteriori pour des options américaines sur un panier de plusieurs actifs.

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La premiere partie de la these est consacree a l'etude de la reflexion d'ondes electromagnetiques par des structures periodiques disposees sur des sons varietes. On s'interesse d'abord au cas ou la longueur d'onde des phenomenes electromagnetiques est du meme ordre que la periode de la structure. On envisage le probleme sous l'angle de l'optimisation de forme. Concretement, on cherche a optimiser l'interface entre deux couches de dielectrique presentes dans une pile polaire, afin d'en augmenter le rendement. Cette etude est surtout numerique, et on considere le probleme originel et le probleme relaxe, ou cette fois on cherche a optimiser un coefficient de melange. On s'interesse ensuite au cas ou la longueur d'onde est superieure a la taille de la periode. On peut alors utiliser des techniques de developpement asymptotique pour trouver une condition aux limites equivalentes, i. E. , une condition aux limites qui permette de simuler numeriquement le probleme sans avoir a mailler la structure periodique. La seconde partie est consacree a l'etude numerique de la couche limite pour des ecoulements de fluides visqueux incompressibles a grands nombres de reynolds. Enfin, on considere une methode d'elements finis mixtes ou la fonction de courant, qui ne developpe pas de couches limites est discretisee sur une grille beaucoup plus grossiere que la vorticite qui elle, a des variations rapides.