Homog?n?isation d??quations de Hamilton-Jacobi et applications au trafic routier.

Résumé Cette th?se contient deux contributions ? l?homog?n?isation en espace-temps des ?quations de Hamilton-Jacobi du premier ordre. Ces ?quations sont en lien avec la mod?lisation du trafic routier. Enfin, sont pr?sent?s des r?sultats d?homog?n?isation en milieu presque p?riodique. Le premier chapitre est consacr? ? l?homog?n?isation d?un syst?me infini d??quations diff?rentielles coupl?es avec temps de retard. Ce syst?me provient ici d?un mod?le microscopique de trafic routier simple. Les conducteurs se suivent sur une route rectiligne infinie et l?on tient compte de leur temps de r?action. On suppose que la vitesse de chaque conducteur est une fonction de l?interdistance avec le conducteur qui le pr?c?de: on parle d?un mod?le du type ?follow-the-leader?. Gr?ce ? un principe de comparaison strict, on montre la convergence vers un mod?le macroscopique pour des temps de r?action inf?rieurs ? une valeur critique. Dans un second temps, on exhibe un contre-exemple ? l?homog?n?isation pour un temps de r?action sup?rieur ? cette valeur critique, pour des conditions initiales particuli?res. Pour cela, on perturbe la solution stationnaire dans laquelle les v?hicules sont tous ?quidistants aux instants initiaux. Le second chapitre porte sur l?homog?n?isation d?une ?quation de Hamilton-Jacobi dont l?Hamiltonien est discontinu en espace. Le mod?le de trafic associ? est une route rectiligne comportant une infinit? de feux tricolores. Ces feux sont suppos?s identiques, ?quidistants et le d?phasage entre deux feux successifs est suppos? constant. On ?tudie l?influence ? grande ?chelle de ce d?phasage sur le trafic. On distingue la portion de route libre, qui sera repr?sent?e par un mod?le macroscopique, et les feux, qui seront mod?lis?s par des limiteurs de flux p?riodiques en temps. Le cadre th?orique est celui par C. Imbert et R. Monneau (2017) pour les ?quations de Hamilton-Jacobi sur r?seaux. L??tude se d?compose en l?homog?n?isation th?orique, o? l?Hamiltonien effectif d?pend du d?phasage, puis l?obtention de propri?t?s qualitatives de cet Hamiltonien ? l?aide d?observations via des simulations num?riques. Le troisi?me chapitre pr?sente des r?sultats d?homog?n?isation en milieu presque p?riodique. On ?tudie tout d?abord un probl?me d??volution avec un Hamiltonien stationnaire, presque p?riodique en espace. ? l?aide d?arguments presque p?riodiques, on effectue dans un second temps une nouvelle preuve du r?sultat d?homog?n?isation du second chapitre. L?Hamiltonien est alors p?riodique en temps et presque p?riodique en espace. Sont ?galement pr?sentes des questions encore ouvertes, notamment dans le cas o? l?Hamiltonien est presque p?riodique en temps-espace, et dans le cas d?un mod?le de trafic o? les feux sont assez proches, avec donc un mod?le microscopique entre les feux.