JOURDAIN Benjamin

Nous nous intéressons aux couplages de réarrangement martingal. Comme introduit par Wiesel [37] afin de prouver la stabilité des problèmes de transport optimal de Martingale, ce sont des projections dans la distance de Wasserstein adaptée des couplages entre deux mesures de probabilité sur la ligne réelle dans l'ordre convexe sur l'ensemble des couplages de martingale entre ces deux marginaux. En raison du manque de compacité relative de l'ensemble des couplages avec des marginales données pour la topologie de Wasserstein adaptée, l'existence d'une telle projection n'est pas du tout claire. Sous une hypothèse de dispersion du barycentre sur le couplage original, qui est en particulier satisfaite par le couplage de Hoeffding-Fr'echet ou comonotone, Wiesel donne une construction algorithmique claire d'un réarrangement martingale lorsque les marginaux sont supportés de manière finie, puis se débarrasse de l'hypothèse de support fini en s'appuyant sur une procédure de limitation plutôt désordonnée pour surmonter le manque de compacité relative. Ici, nous donnons une construction générale directe d'un couplage de réarrangement de martingale sous l'hypothèse de dispersion du barycentre. Ce réarrangement martingal est obtenu à partir du couplage original par une approche similaire à la construction que nous avons donnée dans [24] du couplage martingal à transformation inverse, un membre d'une famille de couplages martingaux proches du couplage de Hoeffding-Fr'echet, mais pour une injection légèrement différente dans l'ensemble des couplages étendus introduits par Beiglb'ock et Juillet [9] et qui impliquent la distribution uniforme sur [0, 1] en plus des deux marginaux. Nous discutons enfin de la stabilité en distance de Wassertein adaptée du couplage martingale à transformation inverse par rapport aux distributions marginales.

Notre résultat principal consiste à établir la stabilité des couplages martingaux : supposons que $\pi$ est un couplage martingal avec des marginaux $\mu, \nu$. Alors, étant donné des mesures marginales approximatives $\tilde \mu \approx \mu, \tilde \nu\approx \nu$ dans un ordre convexe, nous montrons qu'il existe un couplage martingale approximatif $\tilde\pi \approx \pi$ avec des marginales $\tilde \mu, \tilde \nu$. En finance mathématique, les prix des options d'achat et de vente européennes fournissent des informations sur les mesures marginales des mesures de prix sans arbitrage. Le résultat ci-dessus affirme que de faibles variations des prix des options d'achat et de vente n'entraînent que de faibles variations du niveau des mesures de prix sans arbitrage. Bien que ces faits aient été anticipés depuis un certain temps, la preuve réelle nécessite des résultats de stabilité quelque peu complexes pour la distance de Wasserstein adaptée. Le résultat a notamment des conséquences pour plusieurs problèmes connexes. Plus précisément, il est pertinent pour les approximations numériques, il conduit à une nouvelle preuve du principe de monotonicité du transport optimal de martingale et il implique la stabilité du transport optimal de martingale faible ainsi que l'encastrement optimal de Skorokhod. Du côté de la finance mathématique, cela donne la continuité du problème de l'évaluation robuste des options exotiques et des options VIX par rapport aux données du marché. Ces applications seront détaillées dans deux articles complémentaires.

Nous nous intéressons dans cette thèse à la résolution numérique de modèles régis par des équations aux dérivées partielles admettant une interprétation probabiliste. Dans un premier temps, nous considérons des équations aux dérivées partielles en grande dimension. En nous basant sur une interprétation probabiliste de la solution qui permet d’obtenir des évaluations ponctuelles de celle-ci via des méthodes de Monte-Carlo, nous proposons un algorithme combinant une méthode d’interpolation adaptative et une méthode de réduction de variance pour approcher la solution sur tout son domaine de définition. Dans un deuxième temps, nous nous intéressons aux méthodes de bases réduites pour les équations aux dérivées partielles paramétrées. Nous proposons deux algorithmes gloutons reposant sur une interprétation probabiliste de l’erreur. Nous proposons également un algorithme d’optimisation discrète probably approximately correct en précision relative qui nous permet, pour ces deux algorithmes gloutons, de sélectionner judicieusement un snapshot à ajouter à la base réduite en se basant sur la représentation probabiliste de l’erreur d’approximation.

Alors que de nombreuses questions en finance (robuste) peuvent être posées dans le cadre du transport optimal des martingales (MOT), d'autres nécessitent de considérer également des fonctions de coût non linéaires. Selon la terminologie de Gozlan, Roberto, Samson et Tetali, cela correspond au transport optimal martingal faible (WMOT). Dans cet article, nous établissons la stabilité du WMOT, ce qui est important puisque les données financières ne peuvent donner que des informations imprécises sur les marginales sous-jacentes. Comme application, nous déduisons la stabilité de la limite de superréplication pour les futures VIX ainsi que la stabilité du mouvement brownien étiré et nous dérivons un principe de monotonicité pour WMOT.

Nous nous intéressons à la discrétisation temporelle des équations différentielles stochastiques avec un bruit brownien additif à d dimensions et un coefficient de dérive L q - L ρ lorsque la condition d ρ + 2 q < 1, sous laquelle Krylov et Röckner [26] ont prouvé l'existence d'une solution forte unique, est satisfaite. Nous montrons une convergence faible avec l'ordre 1 2 (1 - (d ρ + 2 q)) qui correspond à la moitié de la distance au seuil pour le schéma d'Euler avec une variable temporelle aléatoire et un coefficient de dérive coupé de sorte que sa contribution à chaque pas de temps ne domine pas la contribution brownienne. Plus précisément, nous prouvons que la diffusion et ce schéma d'Euler admettent tous deux des densités de transition et que la différence entre ces densités est limitée par le pas de temps à cet ordre multiplié par une densité gaussienne centrée.

Nous nous intéressons à la discrétisation d'Euler-Maruyama d'une équation différentielle stochastique en dimension $d$ avec coefficient de diffusion constant et coefficient de dérive mesurable borné. Dans ce schéma, une randomisation de la variable temps est utilisée pour s'affranchir de toute hypothèse de régularité de la dérive de cette variable. Nous prouvons la convergence faible avec l'ordre $1/2$ dans la distance de variation totale. Lorsque la dérive a une divergence spatiale dans le sens de distributions avec $\rho$-ième puissance intégrables par rapport à la mesure de Lebesgue dans l'espace uniformément dans le temps pour un certain $\rho \ge d$, l'ordre de convergence au temps terminal s'améliore à $1$ jusqu'à un certain facteur logarithmique. En dimension $d=1$, ce résultat est préservé lorsque la dérivée spatiale de la dérive est une mesure dans l'espace avec une masse totale bornée uniformément dans le temps. Nous confirmons notre analyse théorique par des expériences numériques.

Cette thèse est divisée en quatre parties pouvant être lues indépendamment. Dans ce manuscrit, nous apportons quelques contributions à l’étude théorique et aux applications en finance de la quantification optimale. Dans la première partie, nous rappelons les fondements théoriques de la quantification optimale ainsi que les méthodes numériques classiques pour construire des quantifieurs optimaux. La seconde partie se concentre sur le problème d’intégration numérique en dimension 1. Ce problème apparait lorsque l’on souhaite calculer numériquement des espérances, tel que l’évaluation de produits dérivés. Nous y rappelons les résultats d’erreurs forts et faibles existants et étendons les résultats des convergences d’ordre 2 à d’autres classes de fonctions moins réguliers. Dans un deuxième temps, nous présentons un résultat de développement d’erreur faible en dimension 1 et un second développement en dimension supérieure pour un quantifieur produit. Dans la troisième partie, nous nous intéressons à une première application numérique. Nous introduisons un modèle de Heston stationnaire dans lequel la condition initiale de la volatilité est supposée aléatoire de loi la distribution stationnaire de l’EDS du CIR régissant la volatilité. Cette variante du modèle de Heston original produit pour les options européennes sur les maturités courtes un smile de volatilité implicite plus prononcé que le modèle standard. Nous développons ensuite une méthode numérique à base de quantification récursive produit pour l’évaluation d’options bermudiennes et barrières. La quatrième et dernière partie traite d’une deuxième application numérique, l’évaluation d’options bermudiennes sur taux de change dans un modèle 3 facteurs. Ces produits sont connus sur les marchés sous le noms de PRDC. Nous proposons deux schémas pour évaluer ce type d’options toutes deux basées sur de la quantification optimale produit et établissons des estimations d’erreur à priori.

Le but de cet article est d'étudier l'existence et l'unicité des solutions à une équation différentielle stochastique (EDS) provenant des valeurs propres des processus de Wishart. Les coordonnées sont non-négatives, évoluent comme des processus de Cox-Ingersoll-Ross (CIR) et se repoussent mutuellement selon une force d'interaction de type coulombien. Nous montrons l'existence de solutions uniques fortes et pathwise du système jusqu'à la première collision multiple, et donnons une condition nécessaire et suffisante sur les paramètres de l'EDD pour que cette collision multiple ne se produise pas en temps fini.

Par le théorème de Gyongy, un modèle de volatilité locale et stochastique est calibré aux prix du marché de toutes les options d'achat avec des maturités et des strike positifs si sa fonction de volatilité locale est égale au rapport de la fonction de volatilité locale de Dupire sur la racine du carré moyen conditionnel du facteur de volatilité stochastique étant donné la valeur au comptant. Ceci conduit à une SDE non linéaire au sens de McKean. Les méthodes particulaires basées sur une approximation par noyau de l'espérance conditionnelle, telles que présentées par Guyon et Henry-Labordière (2011), fournissent une procédure de calibration efficace même si certaines erreurs de calibration peuvent apparaître lorsque la plage du facteur de volatilité stochastique est très large. Mais jusqu'à présent, aucun résultat d'existence n'est disponible pour les EDD non linéaires au sens de McKean. Dans le cas particulier où la fonction de volatilité locale est égale à l'inverse de la racine du carré moyen conditionnel du facteur de volatilité stochastique multiplié par la valeur au comptant donnée par cette valeur et où le taux d'intérêt est nul, la solution de l'EDD est un faux mouvement brownien. Lorsque le facteur de volatilité stochastique est une variable aléatoire constante (dans le temps) prenant un nombre fini de valeurs et que l'intervalle de son carré n'est pas trop grand, nous prouvons l'existence de l'équation de Fokker-Planck associée. Grâce à Figalli (2008), nous déduisons ensuite l'existence d'une nouvelle classe de fausses motions browniennes. Nous étendons ensuite ces résultats au cas particulier du modèle LSV appelé Regime Switching Local Volatility, où le facteur de volatilité stochastique est un processus de saut prenant un nombre fini de valeurs et dont l'intensité des sauts dépend du niveau du spot. Sous la même condition sur l'étendue de son carré, nous prouvons l'existence de l'EDP de Fokker-Planck associée. Nous déduisons ensuite l'existence du modèle calibré en étendant les résultats de Figalli (2008).

On s'intéresse à l'approximation en distance de Wasserstein avec l'indice $\rho\ge 1$ d'une mesure de probabilité $\mu$ sur la droite réelle avec moment fini d'ordre $\rho$ par la mesure empirique de $N$ points déterministes. L'erreur minimale converge vers $0$ comme $N\to+\infty$ et nous cherchons à caractériser l'ordre associé à cette convergence. A part lorsque $\mu$ est une masse de Dirac et que l'erreur disparaît, l'ordre n'est pas plus grand que $1$. Nous donnons une condition nécessaire et une condition suffisante pour que l'ordre soit égal à ce seuil de $1$ en termes de densité de la partie absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue de $\mu$. Nous vérifions également que pour que l'ordre se trouve dans l'intervalle $\left(1/\rho,1\right)$, le support de $\mu$ doit être un intervalle borné, et que, lorsque $\mu$ est supporté de manière compacte, l'ordre n'est pas inférieur à $1/\rho$. Enfin, nous donnons une condition nécessaire et suffisante en termes de queues de $\mu$ pour que l'ordre soit égal à une valeur donnée dans l'intervalle $\left(0,1/\rho\right)$.

Pas de résumé disponible.

On sait depuis [24] que deux mesures de probabilité unidimensionnelles dans l'ordre convexe admettent un couplage martingale par rapport auquel l'intégrale de $\vert x-y\vert$ est inférieure à deux fois leur $\mathcal W_1$-distance (distance de Wasserstein avec l'indice $1$). Nous avons montré dans [24] que le remplacement de $\vert x-y\vert$ et $\mathcal W_1$ respectivement par $\vert x-y\vert^\rho$ et $\mathcal W_\rho^\rho$ ne conduit pas à une constante multiplicative finie. Nous montrons ici qu'une constante finie est retrouvée en remplaçant $\mathcal W_\rho^\rho$ par le produit de $\mathcal W_\rho$ par le $\rho$-ième moment centré du second marginal à la puissance $\rho-1$. Nous étudions ensuite la généralisation de cette nouvelle inégalité de stabilité à une dimension supérieure.

Pas de résumé disponible.

Nous établissons pour la quantification duale la contrepartie du résultat d'unicité de Kieffer pour les distributions de probabilité unidimensionnelles à support compact ayant une densité $\log$-concave (aussi appelée fortement unimodale) : pour de telles distributions, les quantificateurs duaux $L^r$-optimaux sont uniques à chaque niveau $N$, la grille optimale étant le point critique unique de l'erreur de quantification. Un exemple de distribution non fortement unimodale pour laquelle l'unicité des points critiques échoue est présenté. Dans le cas quadratique $r=2$, nous proposons un algorithme pour calculer le quantificateur dual optimal unique. Il fournit une contrepartie de l'algorithme de la méthode~I de Lloyd dans un cadre de Voronoï. Enfin, des formes semi-fermées de double quantificateurs optimaux à L^r$ sont établies pour des distributions de puissance sur des intervalles compacts et des distributions exponentielles tronquées.

Cette thèse est motivée par l'étude de la stabilité du problème de transport optimal martingale, et s'articule naturellement autour de deux parties. Dans la première partie, nous exhibons une nouvelle famille de couplages martingale entre deux mesures de probabilités unidimensionnelles μ et ν comparables dans l'ordre convexe. Cette famille contient en particulier le couplage martingale transformée inverse, qui est explicite en termes des fonctions quantiles des marginales. L'intégrale M_1(μ,ν) de |x-y| contre chacun de ces couplages est majorée par le double de la distance de Wasserstein W_1(μ,ν) entre μ et ν. Nous montrons une inégalité similaire lorsque |x-y| et W_1 sont respectivement remplacés par |x-y|^ρ et le produit de W_ρ par le moment centré d'ordre ρ de la seconde marginale élevé à l'exposant ρ-1, pour ρ∈[1,+∞[ quelconque. Nous étudions ensuite la généralisation de cette nouvelle inégalité de stabilité à la dimension supérieure. Enfin, nous établissons une forte connexion entre notre nouvelle famille de couplages martingale et la projection d'un couplage entre deux marginales données comparables dans l'ordre convexe sur l'ensemble des couplages martingale entre ces mêmes marginales. Cette dernière projection est prise par rapport à la distance de Wasserstein adaptée, qui majore la distance de Wasserstein usuelle et induit donc une topologie plus fine et mieux adaptée pour la modélisation financière, puisqu'elle prend en compte la structure temporelle des martingales. Dans la seconde partie, nous prouvons que tout couplage martingale dont les marginales sont approchées par des mesures de probabilité comparables dans l'ordre convexe peut être lui-même approché par des couplages martingale au sens de la distance de Wasserstein adaptée. Nous traitons ensuite d'applications variées de ce résultat. En particulier, nous renforçons un résultat de stabilité portant sur le problème de transport faible optimal et établissons un résultat de stabilité pour le problème de transport faible optimal martingale. Nous en déduisons la stabilité par rapport aux marginales du prix de sur-réplication de contrats à termes sur le VIX.

Cette thèse est consacrée à l'étude théorique et numérique de l'erreur faible de discrétisation en temps et en particules d'Équations Différentielles Stochastiques non linéaires au sens de McKean. Nous abordons dans la première partie l'analyse de la vitesse faible de convergence de la discrétisation temporelle d'EDS standards. Plus spécifiquement, nous étudions la convergence en variation totale du schéma d'Euler-Maruyama appliqué à des ED d-dimensionnelles avec un coefficient de dérive mesurable et un bruit additif. Nous obtenons, en supposant que le coefficient de dérive est borné, un ordre de convergence faible 1/2. En rajoutant plus de régularité sur la dérive, à savoir une divergence spatiale au sens des distributions L[rho]-intégrable en espace uniformément en temps pour un certain [rho] supérieur ou égal à d, nous atteignons un ordre de convergence égal à 1 (à un facteur logarithmique près) au temps terminal. En dimension 1, ce résultat est préservé lorsque la dérivée spatiale de la dérive est une mesure en espace avec une masse totale bornée uniformément en temps. Dans la deuxième partie de la thèse, nous analysons l'erreur faible de discrétisation à la fois en temps et en particules de deux classes d'EDS non-linéaires au sens de McKean. La première classe consiste en des EDS multi-dimensionnelles avec des coefficients de dérive et de diffusion réguliers dans lesquels la dépendance en loi intervient au travers de moments. La deuxième classe, quant à elle, consiste en des EDS uni-dimensionnelles avec un coefficient de diffusion constant et un coefficient de dérive singulier où la dépendance en loi intervient au travers de la fonction de répartition. Nous approchons les EDS par les schémas d'Euler-Maruyama des systèmes de particules associés et nous obtenons pour les deux classes un ordre de convergence faible égal à 1 en temps et en particules. Dans la seconde classe, nous prouvons aussi un résultat de propagation du chaos d'ordre optimal 1/2 en particules ainsi qu'un ordre fort de convergence égal à 1 en temps et 1/2 en particules. Tous nos résultats théoriques sont illustrés par des simulations numériques.

Dans ce travail, une version généralisée du théorème central limite est proposée pour les fonctionnelles non linéaires de la mesure empirique des variables aléatoires i.i.d., à condition que la fonctionnelle satisfasse certaines hypothèses de régularité pour les dérivées fonctionnelles linéaires associées de divers ordres. Cette généralisation peut être appliquée aux méthodes de Monte-Carlo, même lorsqu'il existe une dépendance non linéaire de la composante de la mesure. En conséquence de ce résultat, nous analysons également la convergence de la fluctuation entre la mesure empirique des particules dans un système de particules en interaction et leur mesure limite de champ moyen (lorsque le nombre de particules va vers l'infini), lorsque la dépendance de la mesure est non linéaire.

Dans cet article, nous nous intéressons à la dérivation de limites d'erreurs non-asymptotiques pour la méthode de Monte-Carlo multi-niveaux. Dans un premier temps, nous traitons la discrétisation explicite d'Euler des équations différentielles stochastiques avec un coefficient de diffusion constant. Nous obtenons une concentration de type gaussien. Pour ce faire, nous utilisons la formule de représentation de Clark-Ocone et nous dérivons des limites pour les fonctions génératrices de moments de la différence au carré entre un schéma d'Euler brut et un schéma plus fin et de la différence au carré de leurs dérivées de Malliavin.

Pour µ et ν deux mesures de probabilité sur la ligne réelle telles que µ est plus petit que ν dans l'ordre convexe, cette propriété n'est en général pas préservée au niveau des mesures empiriques µI = 1 I I i=1 δX i et νJ = 1 J J j=1 δY j , où (Xi) 1≤i≤I (resp. (Yj) 1≤j≤J) sont indépendants et identiquement distribués selon µ (resp. ν). Nous étudions des modifications de µI (resp. νJ) plus petites que νJ (resp. plus grandes que µI) dans l'ordre convexe et convergeant faiblement vers µ (resp. ν) lorsque I, J → ∞. Selon Kertz et Rösler (1992), l'ensemble des mesures de probabilité sur la ligne réelle avec un moment fini du premier ordre est un treillis complet pour les ordres convexes croissant et décroissant. Pour µ et ν dans cet ensemble, cela nous permet de définir une mesure de probabilité µ ∨ ν (resp. µ ∧ ν) supérieure à µ (resp. inférieure à ν) dans l'ordre convexe. Nous donnons des algorithmes efficaces permettant de calculer µ ∨ ν et µ ∧ ν (et donc µI ∨ νJ et µI ∧ νJ) lorsque µ et ν ont des supports finis. Enfin, nous illustrons par des expériences numériques les méthodes d'échantillonnage résultantes qui préservent l'ordre convexe et leur application à des problèmes de transport optimal approximatif de type martingale et en particulier au calcul de bornes robustes de prix d'option.

En établissant un parallèle entre la métadynamique et les modèles d'auto-interaction pour les polymères, nous étudions la convergence à long terme de l'algorithme original de la métadynamique dans le cadre adiabatique, à savoir lorsque la dynamique le long des variables collectives se découple de la dynamique le long des autres degrés de liberté. Nous discutons également du biais qui est introduit lorsque l'hypothèse adiabatique ne tient pas.

Dans cet article, nous analysons le taux de convergence d'un système de $N$ particules en interaction avec un rang de champ moyen basé sur le coefficient de dérive et un coefficient de diffusion constant. Nous adaptons d'abord les arguments de Kolli et Shkolnikhov pour vérifier la propagation trajectoire du chaos avec un taux optimal $N^{-1/2}$ aux équations différentielles stochastiques associées non linéaires au sens de McKean. Nous relaxons ensuite les hypothèses nécessaires à Bossy pour vérifier la convergence dans $L^1(\mathbb{R})$ avec un taux ${\mathcal O}(\frac{1}{\sqrt N} + h)$ de la fonction de distribution cumulative empirique de la discrétisation d'Euler avec un pas $h$ du système de particules vers la solution d'une loi de conservation scalaire visqueuse unidimensionnelle. Enfin, nous prouvons que le biais de cette méthode particulaire stochastique se comporte en ${\mathcal O}(\frac{1}{N} + h)$. Nous fournissons des résultats numériques qui confirment nos estimations théoriques.

Cette thèse contient deux parties. Dans la première partie, on démontre deux théorèmes limites de la quantification optimale. Le premier théorème limite est la caractérisation de la convergence sous la distance de Wasserstein d’une suite de mesures de probabilité par la convergence simple des fonctions d’erreur de la quantification. Ces résultats sont établis en Rd et également dans un espace de Hilbert séparable. Le second théorème limite montre la vitesse de convergence des grilles optimales et la performance de quantification pour une suite de mesures de probabilité qui convergent sous la distance de Wasserstein, notamment la mesure empirique. La deuxième partie de cette thèse se concentre sur l’approximation et la simulation de l’équation de McKean-Vlasov. On commence cette partie par prouver, par la méthode de Feyel (voir Bouleau (1988)[Section 7]), l’existence et l’unicité d’une solution forte de l’équation de McKean-Vlasov dXt = b(t, Xt, μt)dt + σ(t, Xt, μt)dBt sous la condition que les fonctions de coefficient b et σ sont lipschitziennes. Ensuite, on établit la vitesse de convergence du schéma d’Euler théorique de l’équation de McKean-Vlasov et également les résultats de l’ordre convexe fonctionnel pour les équations de McKean-Vlasov avec b(t,x,μ) = αx+β, α,β ∈ R. Dans le dernier chapitre, on analyse l’erreur de la méthode de particule, de plusieurs schémas basés sur la quantification et d’un schéma hybride particule- quantification. À la fin, on illustre deux exemples de simulations: l’équation de Burgers (Bossy and Talay (1997)) en dimension 1 et le réseau de neurones de FitzHugh-Nagumo (Baladron et al. (2012)) en dimension 3.

Nous nous intéressons à proposer des approximations d'une séquence de mesures de probabilité dans l'ordre convexe par des mesures de probabilité à support fini toujours dans l'ordre convexe. Nous proposons d'alterner les transitions en fonction d'un noyau de Markov martingale mettant en correspondance une mesure de probabilité de la séquence avec les étapes de quantification suivantes et doubles. Dans le cas des modèles ARCH et en particulier du schéma d'Euler d'une diffusion brownienne sans dérive, le bruit doit être tronqué pour permettre l'étape de quantification double. Nous analysons l'erreur entre le modèle ARCH original et son approximation avec un bruit tronqué et exposons les conditions sous lesquelles le second est dominé par le premier dans l'ordre convexe au niveau des chemins d'échantillon. Enfin, nous analysons l'erreur du schéma combinant les étapes de double quantification avec la troncature du bruit selon la quantification primale.

Dans cet article, nous exposons une nouvelle famille de couplages martingales entre deux mesures de probabilité unidimensionnelles $\mu$ et $\nu$ dans l'ordre convexe. Cette famille est paramétrée par des mesures de probabilité bidimensionnelles sur le carré unitaire avec des densités marginales respectives proportionnelles aux parties positive et négative de la différence entre les fonctions quantiles de $\mu$ et $\nu$. Elle contient le couplage martingale à transformation inverse qui est explicite en termes de fonctions de distribution cumulative associées. L'intégrale de $\vert x-y\vert$ par rapport à chacun de ces couplages est inférieure à deux fois la distance $W_1$ entre $\mu$ et $\nu$. Lorsque $\mu$ et $\nu$ sont dans l'ordre convexe décroissant (resp. croissant), la construction est généralisée pour présenter des couplages super (resp. sub) martingales.

Dans cet article, nous nous intéressons à la dérivée temporelle de la distance de Wasserstein entre les marginales de deux processus de Markov. Comme rappelé dans l'introduction, la dualité de Kantorovich conduit à un candidat naturel pour cette dérivée. Jusqu'au signe, elle est la somme des intégrales par rapport à chacune des deux marginales du générateur correspondant appliquées au potentiel de Kantorovich correspondant. Pour les processus de saut purs avec une intensité de sauts bornée, nous prouvons que l'évolution de la distance de Wasserstein est effectivement donnée par ce candidat. En dimension un, nous montrons que cela reste vrai pour les processus de Markov déterministes en dimension un.

Dans cet article, nous remarquons que tout couplage optimal pour la distance quadratique de Wasserstein W22(μ,ν) entre deux mesures de probabilité μ et ν avec des moments d'ordre 2 finis sur Rd est la composition d'un couplage martingale avec une carte de transport optimale T. Nous vérifions l'existence d'un couplage optimal dans lequel cette carte donne l'unique couplage optimal entre μ et T#μ. Ensuite, nous prouvons que σ↦W22(σ,ν) est différentiable en μ au sens de Lions~\cite{Lions} et au sens géométrique s'il existe un couplage optimal unique entre μ et ν et que ce couplage est donné par une carte. En outre, nous donnons une preuve auto-contenue que la simple différentiabilité de Fréchet d'une fonction invariante de loi F sur L2(Ω,P.Rd) est suffisante pour que la différentielle de Fréchet en X soit une fonction mesurable de X.

Dans cet article, nous prouvons que l'erreur faible entre une équation différentielle stochastique avec non-linéarité au sens de McKean donnée par des moments et son approximation par la discrétisation d'Euler avec pas de temps h d'un système de N particules en interaction est O(1/N + h). Nous fournissons des expériences numériques confirmant ce comportement et montrant qu'il s'étend à une interaction plus générale de type champ moyen et nous étudions l'efficacité de la technique d'échantillonnage antithétique sur les mêmes exemples.

Pour µ et ν deux mesures de probabilité sur la ligne réelle telles que µ est plus petit que ν dans l'ordre convexe, cette propriété n'est en général pas préservée au niveau des mesures empiriques µI = 1 I I i=1 δX i et νJ = 1 J J j=1 δY j , où (Xi) 1≤i≤I (resp. (Yj) 1≤j≤J) sont indépendants et identiquement distribués selon µ (resp. ν). Nous étudions des modifications de µI (resp. νJ) plus petites que νJ (resp. plus grandes que µI) dans l'ordre convexe et convergeant faiblement vers µ (resp. ν) lorsque I, J → ∞. Selon Kertz et Rösler (1992), l'ensemble des mesures de probabilité sur la ligne réelle avec un moment fini du premier ordre est un treillis complet pour les ordres convexes croissant et décroissant. Pour µ et ν dans cet ensemble, cela nous permet de définir une mesure de probabilité µ ∨ ν (resp. µ ∧ ν) supérieure à µ (resp. inférieure à ν) dans l'ordre convexe. Nous donnons des algorithmes efficaces permettant de calculer µ ∨ ν et µ ∧ ν (et donc µI ∨ νJ et µI ∧ νJ) lorsque µ et ν ont des supports finis. Enfin, nous illustrons par des expériences numériques les méthodes d'échantillonnage résultantes qui préservent l'ordre convexe et leur application à des problèmes de transport optimal approximatif de type martingale et en particulier au calcul de bornes robustes de prix d'option.

n Gerbi et al. (2016), nous avons prouvé la forte convergence avec l'ordre 1/2 du schéma de Ninomiya-VictoirXN V,ηavec un pas de tempsT/Nvers la solutionXde l'EDS limite. Dans cet article, nous vérifions que l'erreur normalisée définie par√N(X-XN V,η)converge vers une EDS affine avec des termes sources impliquant les crochets de Lie entre les champs vectoriels browniens. La limite ne dépend pas des variables aléatoires de Rademacherη. Ce résultat peut être considéré comme une première étape pour adapter au schéma de Ninomiya-Victoir le théorème de centrallimite de type Lindeberg Feller, dérivé dans Ben Alaya et Kebaier (2015) pour l'estimateur MonteCarlo multi-niveaux basé sur le schéma d'Euler. Cela suggère que le taux de convergence est supérieur à 1/2 dans ce cas et nous prouvons effectivement la convergence forte avec l'ordre 1 et étudions la limite de l'erreur normalisée N(X-XN V,η). L'EDS limite implique les crochets de Lie entre les champs vectoriels browniens et le champ vectoriel de dérive de Stratonovich. Lorsque tous les champs vectoriels commutent, la limite disparaît, ce qui est cohérent avec le fait que le schéma de Ninomiya-Victoirs coïncide avec la solution de l'EDS sur la grille de discrétisation.

Pas de résumé disponible.

Nous considérons une généralisation de la méthode d'échantillonnage en parapluie auto-guérissant à temps discret, qui est une technique d'importance adaptative utile pour échantillonner des distributions cibles multimodales. La fonction d'importance est basée sur les poids des ensembles disjoints qui forment une partition de l'espace. Dans le contexte de la physique statistique computationnelle, le logarithme de ces poids est, jusqu'à une constante multiplicative, l'énergie libre, et la fonction à valeur discrète définissant la partition est appelée coordonnée de réaction. L'algorithme est une généralisation de la méthode originale d'échantillonnage par parapluie d'auto-guérison de deux façons : (i) la stratégie de mise à jour conduit à une plus grande force de pénalisation des ensembles déjà visités et (ii) la distribution cible est biaisée en utilisant seulement une fraction de l'énergie libre, afin d'augmenter la taille effective de l'échantillon et de réduire la variance des estimateurs d'échantillonnage par importance. L'algorithme peut également être considéré comme une généralisation de la métadynamique bien tempérée. Nous prouvons la convergence de l'algorithme et analysons numériquement son efficacité sur un exemple fictif.

Dans cette thèse, nous étudions plusieurs problèmes de mathématiques financières liés à la valorisation des produits dérivés. Par différentes approches asymptotiques, nous développons des méthodes pour calculer des approximations précises du prix de certains types d’options dans des cas où il n’existe pas de formule explicite.Dans le premier chapitre, nous nous intéressons à la valorisation des options dont le payoff dépend de la trajectoire du sous-jacent par méthodes de Monte-Carlo, lorsque le sous-jacent est modélisé par un processus affine à volatilité stochastique. Nous prouvons un principe de grandes déviations trajectoriel en temps long, que nous utilisons pour calculer, en utilisant le lemme de Varadhan, un changement de mesure asymptotiquement optimal, permettant de réduire significativement la variance de l’estimateur de Monte-Carlo des prix d’options.Le second chapitre considère la valorisation par méthodes de Monte-Carlo des options dépendant de plusieurs sous-jacents, telles que les options sur panier, dans le modèle à volatilité stochastique de Wishart, qui généralise le modèle Heston. En suivant la même approche que dans le précédent chapitre, nous prouvons que le processus vérifie un principe de grandes déviations en temps long, que nous utilisons pour réduire significativement la variance de l’estimateur de Monte-Carlo des prix d’options, à travers un changement de mesure asymptotiquement optimal. En parallèle, nous utilisons le principe de grandes déviations pour caractériser le comportement en temps long de la volatilité implicite Black-Scholes des options sur panier.Dans le troisième chapitre, nous étudions la valorisation des options sur variance réalisée, lorsque la volatilité spot est modélisée par un processus de diffusion à volatilité constante. Nous utilisons de récents résultats asymptotiques sur les densités des diffusions hypo-elliptiques pour calculer une expansion de la densité de la variance réalisée, que nous intégrons pour obtenir l’expansion du prix des options, puis de leur volatilité implicite Black-Scholes.Le dernier chapitre est consacré à la valorisation des dérivés de taux d’intérêt dans le modèle Lévy de marché Libor qui généralise le modèle de marché Libor classique (log-normal) par l’ajout de sauts. En écrivant le premier comme une perturbation du second et en utilisant la représentation de Feynman-Kac, nous calculons explicitement l’expansion asymptotique du prix des dérivés de taux, en particulier, des caplets et des swaptions.

Cette thèse est consacrée à l'étude théorique et numérique de deux problèmes non linéaires au sens de McKean en finance. Nous abordons dans la première partie le problème de calibration d'un modèle à volatilité locale et stochastique pour tenir compte des prix d'options Européennes vanilles observés sur le marché. Ce problème se traduit par l'étude d'une équation différentielle stochastique (EDS) non linéaire au sens de McKean à cause de la présence dans le coefficient de diffusion d'une espérance conditionnelle du facteur de volatilité stochastique par rapport à la solution de l'EDS. Nous obtenons l'existence du processus dans le cas particulier où le facteur de volatilité stochastique est un processus de sauts ayant un nombre fini d'états. Nous obtenons de plus la convergence faible à l'ordre 1 de la discrétisation en temps de l'EDS non linéaire au sens de McKean pour des facteurs de volatilité stochastique généraux. Dans l'industrie, la calibration est effectuée efficacement à l'aide d'une régularisation de l'espérance conditionnelle par un estimateur à noyau de type Nadaraya-Watson, comme proposé par Guyon et Henry-Labordère dans [JGPHL]. Nous proposons également un schéma numérique demi-pas de temps et étudions le système de particules associé que nous comparons à l'algorithme proposé par [JGPHL]. Dans la deuxième partie de la thèse, nous nous intéressons à un problème de valorisation de contrat avec appels de marge, une problématique apparue avec l'application de nouvelles régulations depuis la crise financière de 2008. Ce problème peut être modélisé par une équation différentielle stochastique rétrograde (EDSR) anticipative avec dépendance en la loi de la solution dans le générateur. Nous montrons que cette équation est bien posée et proposons une approximation de sa solution à l'aide d'EDSR standards linéaires lorsque la durée de liquidation de l'option en cas de défaut est petite. Enfin, nous montrons que le calcul des solutions de ces EDSR standards peut être amélioré à l'aide de la méthode de Monte-Carlo multiniveaux introduite par Giles dans [G].

Nous étudions dans cette thèse divers aspects du transport optimal martingale en dimension plus grande que un, de la dualité à la structure locale, puis nous proposons finalement des méthodes d’approximation numérique.On prouve d’abord l’existence de composantes irréductibles intrinsèques aux transports martingales entre deux mesures données, ainsi que la canonicité de ces composantes. Nous avons ensuite prouvé un résultat de dualité pour le transport optimal martingale en dimension quelconque, la dualité point par point n’est plus vraie mais une forme de dualité quasi-sûre est démontrée. Cette dualité permet de démontrer la possibilité de décomposer le transport optimal quasi-sûre en une série de sous-problèmes de transports optimaux point par point sur chaque composante irréductible. On utilise enfin cette dualité pour démontrer un principe de monotonie martingale, analogue au célèbre principe de monotonie du transport optimal classique. Nous étudions ensuite la structure locale des transports optimaux, déduite de considérations différentielles. On obtient ainsi une caractérisation de cette structure en utilisant des outils de géométrie algébrique réelle. On en déduit la structure des transports optimaux martingales dans le cas des coûts puissances de la norme euclidienne, ce qui permet de résoudre une conjecture qui date de 2015. Finalement, nous avons comparé les méthodes numériques existantes et proposé une nouvelle méthode qui s’avère plus efficace et permet de traiter un problème intrinsèque de la contrainte martingale qu’est le défaut d’ordre convexe. On donne également des techniques pour gérer en pratique les problèmes numériques.

Nous considérons la solution d'une équation différentielle stochastique avec une fonction de dérive qui dépend doucement d'un paramètre réel λ, et admettant une mesure invariante unique pour toute valeur de λ autour de λ = 0. Notre objectif est de calculer la dérivée par rapport à λ des moyennes par rapport à la mesure invariante, à λ = 0. Nous analysons une méthode numérique qui consiste à simuler le processus à λ = 0 ainsi que sa dérivée par rapport à λ sur un horizon temporel long. Nous donnons des conditions suffisantes impliquant l'intégrabilité carrée uniforme en temps de cette dérivée. Ceci permet en particulier de calculer efficacement la dérivée par rapport à λ de la moyenne d'une observable par des simulations de Monte Carlo.

Pas de résumé disponible.

L'équation aux dérivées partielles de Keller-Segel est un modèle bidimensionnel pour la chimiotaxie. Lorsque la masse totale de la densité initiale est égale à un, elle est connue pour présenter un blow-up en temps fini dès que la sensibilité $\chi$ des bactéries au chimio-attractant est supérieure à $8\pi$. Nous étudions son approximation par un système de $N$ particules browniennes bidimensionnelles interagissant par un noyau attractif singulier dans le terme de dérive. Dans le cas très sous-critique $\chi<2\pi$, la diffusion domine fortement cette dérive singulière : nous obtenons l'existence pour le système de particules et prouvons que son flux de mesures empiriques converge, comme $N\to\infty$ et jusqu'à l'extraction d'une sous-séquence, vers une solution faible de l'équation de Keller-Segel. Nous montrons également que pour tout $N\ge 2$ et toute valeur de $\chi>0$, les paires de particules entrent effectivement en collision avec une probabilité positive : la singularité de la dérive est en effet visitée. Néanmoins, lorsque $\chi<2\pi N$, il est possible de contrôler la dérive et d'obtenir l'existence du système de particules jusqu'à la première fois où au moins trois particules entrent en collision. Nous vérifions que ce temps est a.s. infini, de sorte que l'existence globale existe pour le système de particules, si et seulement si $\chi\leq 8\pi(N-2)/(N-1)$. Enfin, nous remarquons que dans le système avec $N=2$ particules, la différence entre les deux positions fournit une généralisation bidimensionnelle naturelle des processus de Bessel, que nous étudions en détail.

Pas de résumé disponible.

Dans cet article, nous nous intéressons à la dérivation de limites d'erreurs non-asymptotiques pour la méthode de Monte-Carlo multi-niveaux. Dans un premier temps, nous traitons la discrétisation explicite d'Euler des équations différentielles stochastiques avec un coefficient de diffusion constant. Nous obtenons une concentration de type gaussien. Pour ce faire, nous utilisons la formule de représentation de Clark-Ocone et nous dérivons des limites pour les fonctions génératrices de moments de la différence au carré entre un schéma d'Euler brut et un schéma plus fin et de la différence au carré de leurs dérivées de Malliavin.

Motivés par l'approximation de problèmes de transport optimal de Martingale, nous étudions des méthodes d'échantillonnage préservant l'ordre convexe pour deux mesures de probabilité $\mu$ et $\nu$ sur $\mathbb{R}^d$, avec $\nu$ dominant $\mu$. Lorsque $(X_i)_{1\le i\le I}$ (resp.

Dans cet article, nous résumons les résultats concernant le fort taux de convergence du schéma de Ninomiya-Victoir et la convergence stable en loi de son erreur normalisée que nous avons obtenus dans des articles précédents. Nous rappelons ensuite les propriétés des estimateurs Monte Carlo multiniveaux impliquant ce schéma que nous avons introduits et étudiés auparavant. Enfin, nous nous intéressons à l'erreur introduite par la discrétisation des équations différentielles ordinaires impliquées dans le schéma de Ninomiya-Victoir. Nous prouvons que cette erreur converge avec un ordre fort 2 lorsqu'une méthode Runge-Kutta explicite d'ordre 4 (resp. 2) est utilisée pour les ODEs correspondant aux champs vectoriels browniens (resp. Stratonovich drift). Nous relaxons donc l'ordre 5 pour les ODEs Browniennes nécessaires par Ninomiya et Ninomiya (2009) pour obtenir le même ordre de forte convergence. De plus, les propriétés de nos estimateurs Monte-Carlo multiniveaux sont préservées lorsque ces méthodes Runge-Kutta sont utilisées.

Cette th?se contient deux contributions ? l?homog?n?isation en espace-temps des ?quations de Hamilton-Jacobi du premier ordre. Ces ?quations sont en lien avec la mod?lisation du trafic routier. Enfin, sont pr?sent?s des r?sultats d?homog?n?isation en milieu presque p?riodique. Le premier chapitre est consacr? ? l?homog?n?isation d?un syst?me infini d??quations diff?rentielles coupl?es avec temps de retard. Ce syst?me provient ici d?un mod?le microscopique de trafic routier simple. Les conducteurs se suivent sur une route rectiligne infinie et l?on tient compte de leur temps de r?action. On suppose que la vitesse de chaque conducteur est une fonction de l?interdistance avec le conducteur qui le pr?c?de: on parle d?un mod?le du type ?follow-the-leader?. Gr?ce ? un principe de comparaison strict, on montre la convergence vers un mod?le macroscopique pour des temps de r?action inf?rieurs ? une valeur critique. Dans un second temps, on exhibe un contre-exemple ? l?homog?n?isation pour un temps de r?action sup?rieur ? cette valeur critique, pour des conditions initiales particuli?res. Pour cela, on perturbe la solution stationnaire dans laquelle les v?hicules sont tous ?quidistants aux instants initiaux. Le second chapitre porte sur l?homog?n?isation d?une ?quation de Hamilton-Jacobi dont l?Hamiltonien est discontinu en espace. Le mod?le de trafic associ? est une route rectiligne comportant une infinit? de feux tricolores. Ces feux sont suppos?s identiques, ?quidistants et le d?phasage entre deux feux successifs est suppos? constant. On ?tudie l?influence ? grande ?chelle de ce d?phasage sur le trafic. On distingue la portion de route libre, qui sera repr?sent?e par un mod?le macroscopique, et les feux, qui seront mod?lis?s par des limiteurs de flux p?riodiques en temps. Le cadre th?orique est celui par C. Imbert et R. Monneau (2017) pour les ?quations de Hamilton-Jacobi sur r?seaux. L??tude se d?compose en l?homog?n?isation th?orique, o? l?Hamiltonien effectif d?pend du d?phasage, puis l?obtention de propri?t?s qualitatives de cet Hamiltonien ? l?aide d?observations via des simulations num?riques. Le troisi?me chapitre pr?sente des r?sultats d?homog?n?isation en milieu presque p?riodique. On ?tudie tout d?abord un probl?me d??volution avec un Hamiltonien stationnaire, presque p?riodique en espace. ? l?aide d?arguments presque p?riodiques, on effectue dans un second temps une nouvelle preuve du r?sultat d?homog?n?isation du second chapitre. L?Hamiltonien est alors p?riodique en temps et presque p?riodique en espace. Sont ?galement pr?sentes des questions encore ouvertes, notamment dans le cas o? l?Hamiltonien est presque p?riodique en temps-espace, et dans le cas d?un mod?le de trafic o? les feux sont assez proches, avec donc un mod?le microscopique entre les feux.

Cette thèse s’intéresse à différents problèmes de contrôle et d’optimisation dont il n’existe à ce jour que des solutions approchées. D’une part nous nous intéressons à des techniques visant à réduire ou supprimer les approximations pour obtenir des solutions plus précises voire exactes. D’autre part nous développons de nouvelles méthodes d’approximation pour traiter plus rapidement des problèmes à plus grande échelle. Nous étudions des méthodes numériques de simulation d’équation différentielle stochastique et d’amélioration de calculs d’espérance. Nous mettons en œuvre des techniques de type quantification pour la construction de variables de contrôle ainsi que la méthode de gradient stochastique pour la résolution de problèmes de contrôle stochastique. Nous nous intéressons aussi aux méthodes de clustering liées à la quantification, ainsi qu’à la compression d’information par réseaux neuronaux. Les problèmes étudiés sont issus non seulement de motivations financières, comme le contrôle stochastique pour la couverture d’option en marché incomplet mais aussi du traitement des grandes bases de données de médias communément appelé Big data dans le chapitre 5. Théoriquement, nous proposons différentes majorations de la convergence des méthodes numériques d’une part pour la recherche d’une stratégie optimale de couverture en marché incomplet dans le chapitre 3, d’autre part pour l’extension la technique de Beskos-Roberts de simulation d’équation différentielle dans le chapitre 4. Nous présentons une utilisation originale de la décomposition de Karhunen-Loève pour une réduction de variance de l’estimateur d’espérance dans le chapitre 2.

Les méthodes de Monte-Carlo sont largement utilisées par l'industrie financière pour fixer le prix des produits dérivés, estimer les risques ou calibrer/estimer les modèles. Elles peuvent également être utilisées pour traiter le big data, dans l'apprentissage automatique, pour effectuer une optimisation en ligne, pour étudier la propagation de l'incertitude en mécanique des fluides ou en géophysique. Sous la même étiquette Monte-Carlo, on trouve en fait des techniques et des communautés très différentes qui évoluent dans des directions différentes. Le cycle thématique que nous avons organisé d'octobre 2015 à juillet 2016 visait à confronter les différents points de vue de ces communautés et à contribuer à une réflexion générale sur l'utilisation de ces techniques par l'industrie financière et le monde économique en général. Il a bénéficié du soutien financier de l'Institut Louis Bachelier, de la Chaire Risques Financiers, de la Chaire Finance et D'eveloppement durable, de la Chaire Economie des nou- ' velles donn'ees, de la Chaire March'es en mutation, du programme ANR ISOTACE ANR-12-MONU-0013 et de l'Institut Henri Poincar'e. Trois thèmes ont été abordés par des conférences académiques suivies d'un atelier d'une journée : propagation de l'incertitude, méthodes particulaires pour la gestion des risques, algorithmes stochastiques et big data. Nous remercions Areski Cousin, Virginie Ehrlacher, Romuald Elie, Gersende Fort, St'ephane Gaiffas et Gilles Pag`es pour avoir coordonné ces ateliers. Le cycle s'est achevé par une conférence de clôture d'une semaine avec douze conférences plénières et seize minisymposiums : voir le site https://montecarlo16.sciencesconf.org. Bien sûr, les six articles de ces actes ne peuvent rendre compte de tous les sujets abordés pendant le cycle. Mais ils donnent un aperçu qualitatif de certains des domaines actifs de recherche sur les méthodes stochastiques en finance. Nous remercions leurs auteurs pour ces précieuses contributions.

Cet article est consacré au modèle de Paveri-Fontana et à son calcul. L'équation maîtresse de ce modèle n'a pas de solution analytique dans le cas de non-équilibre. Nous développons une approche stochastique pour approximer cette équation d'évolution. D'abord, nous donnons une interprétation probabiliste de l'équation comme une équation non linéaire de Fokker-Planck. En remplaçant la non-linéarité par l'interaction, nous déduisons comment approximer sa solution grâce à un algorithme basé sur une simulation de saut fictif du système de particules en interaction. Cet algorithme est amélioré pour obtenir une complexité linéaire par rapport au nombre de particules. Enfin, la méthode numérique est illustrée sur un scénario de flux de trafic et comparée à une méthode déterministe par différences finies.

Cet article est dédié à l'étude des systèmes hyperboliques diagonaux en une dimension d'espace, avec des fonctions de distribution cumulatives, ou plus généralement des fonctions bornées monotones non constantes, comme données initiales. Sous une hypothèse d'hyperbolicité stricte uniforme sur les champs caractéristiques, nous construisons une version multitype de la dynamique des particules collantes et obtenons l'existence de solutions faibles globales par compacité. Nous dérivons ensuite une estimation de stabilité $L^p$ sur le système de particules uniforme dans le nombre de particules. Ceci permet de construire des semigroupes non linéaires résolvant le système dans le sens de Bianchini et Bressan [Ann. of Math. (2), 2005]. Nous obtenons également que ces solutions de semigroupes satisfont une estimation de stabilité dans les distances de Wasserstein de tous les ordres, qui englobe l'estimation classique de $L^1$ et généralise aux systèmes diagonaux les résultats de Bolley, Brenier et Loeper [J. Hyperbolic Differ. Equ., 2005] dans le cas scalaire. Nos résultats sont obtenus sans aucune hypothèse de petitesse sur la variation des données, et nécessitent seulement que les champs caractéristiques soient Lipschitz continus et que le système soit uniformément strictement hyperbolique.

Brenier et Grenier [SIAM J. Numer. Anal., 1998] ont prouvé que la dynamique des particules collantes avec un grand nombre de particules permet d'approximer la solution entropique des lois de conservation scalaires unidimensionnelles avec des données initiales monotones. Dans [arXiv:1501.01498], nous avons introduit une version multitype de cette dynamique et prouvé que les fonctions de distribution cumulative empirique associées convergent vers la solution de viscosité, au sens de Bianchini et Bres-san [Ann. of Math. (2), 2005], de systèmes hyperboliques diagonaux unidimensionnels avec des données initiales monotones de variation arbitraire finie. Dans le présent article, nous analysons l'erreur L 1 de cette procédure d'approximation, en la divisant en erreur de discrétisation des données initiales et en erreur de non-entropie induite par l'évolution du système de particules. Nous prouvons que l'erreur au temps t est bornée par le haut par un terme d'ordre (1 + t)/n, où n désigne le nombre de particules, et donnons un exemple montrant que ce taux est optimal. Nous analysons enfin l'erreur supplémentaire introduite en remplaçant la dynamique de particules collantes multitype par un schéma itératif basé sur la dynamique de particules collantes typewise, et illustrons la convergence de ce schéma par des simulations numériques.

La dissipation des entropies convexes générales pour les processus de Markov à temps continu peut être décrite en termes de martingales rétrogrades par rapport à la filtration de la queue. L'entropie relative est la valeur attendue d'une sous-martingale à rebours. Dans le cas de processus de diffusion de Markov (non nécessairement réversibles), nous utilisons la théorie de Girsanov pour expliciter la décomposition de Doob-Meyer de cette sous-martingale. Nous déduisons un analogue stochastique de la formule bien connue de dissipation d'entropie, qui est valable pour des entropies convexes générales, y compris la distance de variation totale. Sous des hypothèses de régularité supplémentaires, et en utilisant le calcul d'It\^o et les idées d'Arnold, Carlen et Ju \cite{Arnoldcarlenju}, nous obtenons en outre un nouveau critère de Bakry Emery qui assure la convergence exponentielle de l'entropie vers $0$. Ce critère est non intrinsèque puisqu'il dépend de la racine carrée de la matrice de diffusion, et ne peut pas être écrit uniquement en termes de la matrice de diffusion elle-même. Nous fournissons des exemples où le critère classique de Bakry Emery échoue, mais où notre critère non-intrisique s'applique sans modifier la loi du processus de diffusion.

Par le théorème de Gyongy, un modèle de volatilité locale et stochastique est calibré aux prix du marché de toutes les options d'achat avec des maturités et des strike positifs si sa fonction de volatilité locale est égale au rapport de la fonction de volatilité locale de Dupire sur la racine du carré moyen conditionnel du facteur de volatilité stochastique étant donné la valeur au comptant. Ceci conduit à une SDE non linéaire au sens de McKean. Les méthodes particulaires basées sur une approximation par noyau de l'espérance conditionnelle, telles que présentées par Guyon et Henry-Labordière (2011), fournissent une procédure de calibration efficace même si certaines erreurs de calibration peuvent apparaître lorsque la plage du facteur de volatilité stochastique est très large. Mais jusqu'à présent, aucun résultat d'existence n'est disponible pour les EDD non linéaires au sens de McKean. Dans le cas particulier où la fonction de volatilité locale est égale à l'inverse de la racine du carré moyen conditionnel du facteur de volatilité stochastique multiplié par la valeur au comptant donnée par cette valeur et où le taux d'intérêt est nul, la solution de l'EDD est un faux mouvement brownien. Lorsque le facteur de volatilité stochastique est une variable aléatoire constante (dans le temps) prenant un nombre fini de valeurs et que l'intervalle de son carré n'est pas trop grand, nous prouvons l'existence de l'équation de Fokker-Planck associée. Grâce à Figalli (2008), nous déduisons ensuite l'existence d'une nouvelle classe de fausses motions browniennes. Nous étendons ensuite ces résultats au cas particulier du modèle LSV appelé Regime Switching Local Volatility, où le facteur de volatilité stochastique est un processus de saut prenant un nombre fini de valeurs et dont l'intensité des sauts dépend du niveau du spot. Sous la même condition sur l'étendue de son carré, nous prouvons l'existence de l'EDP de Fokker-Planck associée. Nous déduisons ensuite l'existence du modèle calibré en étendant les résultats de Figalli (2008).

Nous traitons le problème de l'externalisation de la dette pour un gros investissement, selon deux situations : soit la firme externalise à la fois l'investissement (et la dette associée) et l'exploitation à un consortium privé, soit la firme supporte la dette et l'investissement mais externalise l'exploitation. Nous prouvons l'existence d'équilibres de Stackelberg et de Nash entre la firme et le consortium privé, dans les deux situations. Nous comparons les avantages de ces contrats. Nous concluons par une étude de ce qui se passe en cas d'information incomplète, dans le sens où le coefficient d'aversion au risque de chaque partenaire peut être inconnu de l'autre partenaire.

Cette thèse est consacrée à l'étude des propriétés de convergence forte du schéma de Ninomiya et Victoir. Les auteurs de ce schéma proposent d'approcher la solution d'une équation différentielle stochastique (EDS), notée $X$, en résolvant $d+1$ équations différentielles ordinaires (EDOs) sur chaque pas de temps, où $d$ est la dimension du mouvement brownien. Le but de cette étude est d'analyser l'utilisation de ce schéma dans une méthode de Monte-Carlo multi-pas. En effet, la complexité optimale de cette méthode est dirigée par l'ordre de convergence vers $0$ de la variance entre les schémas utilisés sur la grille grossière et sur la grille fine. Cet ordre de convergence est lui-même lié à l'ordre de convergence fort entre les deux schémas. Nous montrons alors dans le chapitre $2$, que l'ordre fort du schéma de Ninomiya-Victoir, noté $X^{NV,eta}$ et de pas de temps $T/N$, est $1/2$. Récemment, Giles et Szpruch ont proposé un estimateur Monte-Carlo multi-pas réalisant une complexité $Oleft(epsilon^{-2}right)$ à l'aide d'un schéma de Milstein modifié. Dans le même esprit, nous proposons un schéma de Ninomiya-Victoir modifié qui peut-être couplé à l'ordre fort $1$ avec le schéma de Giles et Szpruch au dernier niveau d'une méthode de Monte-Carlo multi-pas. Cette idée est inspirée de Debrabant et Rossler. Ces auteurs suggèrent d'utiliser un schéma d'ordre faible élevé au niveau de discrétisation le plus fin. Puisque le nombre optimal de niveaux de discrétisation d'une méthode de Monte-Carlo multi-pas est dirigé par l'erreur faible du schéma utilisé sur la grille fine du dernier niveau de discrétisation, cette technique permet d'accélérer la convergence de la méthode Monte-Carlo multi-pas en obtenant une approximation d'ordre faible élevé. L'utilisation du couplage à l'ordre $1$ avec le schéma de Giles-Szpruch nous permet ainsi de garder un estimateur Monte-Carlo multi-pas réalisant une complexité optimale $Oleft( epsilon^{-2} right)$ tout en profitant de l'erreur faible d'ordre $2$ du schéma de Ninomiya-Victoir. Dans le troisième chapitre, nous nous sommes intéressés à l'erreur renormalisée définie par $sqrt{N}left(X - X^{NV,eta}right)$. Nous montrons la convergence en loi stable vers la solution d'une EDS affine, dont le terme source est formé des crochets de Lie entre les champs de vecteurs browniens. Ainsi, lorsqu'au moins deux champs de vecteurs browniens ne commutent pas, la limite n'est pas triviale. Ce qui assure que l'ordre fort $1/2$ est optimal. D'autre part, ce résultat peut être vu comme une première étape en vue de prouver un théorème de la limite centrale pour les estimateurs Monte-Carlo multi-pas. Pour cela, il faut analyser l'erreur en loi stable du schéma entre deux niveaux de discrétisation successifs. Ben Alaya et Kebaier ont prouvé un tel résultat pour le schéma d'Euler. Lorsque les champs de vecteurs browniens commutent, le processus limite est nul. Nous montrons que dans ce cas précis, que l'ordre fort est $1$. Dans le chapitre 4, nous étudions la convergence en loi stable de l'erreur renormalisée $Nleft(X - X^{NV}right)$ où $X^{NV}$ est le schéma de Ninomiya-Victoir lorsque les champs de vecteurs browniens commutent. Nous démontrons la convergence du processus d'erreur renormalisé vers la solution d'une EDS affine. Lorsque le champ de vecteurs dritf ne commute pas avec au moins un des champs de vecteurs browniens, la vitesse de convergence forte obtenue précédemment est optimale.

Pas de résumé disponible.

Dans cet article, nous nous intéressons aux propriétés de convergence forte du schéma de Ninomiya-Victoir qui est connu pour présenter une convergence faible avec un ordre 2. Nous prouvons la convergence forte avec l'ordre 1/2. Cette étude a pour but d'analyser l'utilisation de ce schéma soit à chaque niveau, soit uniquement au niveau le plus fin d'un estimateur Monte Carlo multi-niveaux : en effet, la variance d'un estimateur Monte Carlo multi-niveaux est liée à l'erreur forte entre les deux schémas utilisés sur les grilles grossière et fine à chaque niveau. Récemment, Giles et Szpruch ont proposé un schéma permettant de construire un estimateur de Monte Carlo multi-niveaux atteignant la complexité optimale ${\mathcal O}(\epsilon^{-2})$ pour la précision $\epsilon$. Dans le même esprit, nous proposons un schéma de Ninomiya-Victoir modifié, qui peut être fortement couplé avec l'ordre 1 au schéma de Giles-Szpruch au niveau le plus fin d'un estimateur Monte Carlo multi-niveaux. Des expériences numériques montrent que ce choix améliore l'efficacité, puisque l'ordre 2 de convergence faible du schéma de Ninomiya-Victoir permet de réduire le nombre de niveaux de discrétisation.

Dans cet article, nous nous intéressons aux propriétés de convergence forte du schéma de Ninomiya-Victoir qui est connu pour présenter une convergence faible avec un ordre 2. Nous prouvons la convergence forte avec l'ordre 1/2. Cette étude a pour but d'analyser l'utilisation de ce schéma soit à chaque niveau, soit uniquement au niveau le plus fin d'un estimateur Monte Carlo multi-niveaux : en effet, la variance d'un estimateur Monte Carlo multi-niveaux est liée à l'erreur forte entre les deux schémas utilisés sur les grilles grossière et fine à chaque niveau. Récemment, Giles et Szpruch ont proposé un schéma permettant de construire un estimateur de Monte Carlo multi-niveaux atteignant la complexité optimale O(ϵ-2) pour la précision ϵ. Dans le même esprit, nous proposons un schéma modifié de Ninomiya-Victoir, qui peut être fortement couplé avec un ordre 1 au schéma de Giles-Szpruch au niveau le plus fin d'un estimateur de Monte Carlo multi-niveaux. Des expériences numériques montrent que ce choix améliore l'efficacité, puisque l'ordre 2 de convergence faible du schéma de Ninomiya-Victoir permet de réduire le nombre de niveaux de discrétisation.

Dans un travail précédent, nous avons prouvé la forte convergence à l'ordre 1 du schéma de Ninomiya-Victoir $X^{\rm NV}$ avec un pas de temps $T/N$ vers la solution $X$ de l'EDS limite lorsque les champs vectoriels browniens commuent. Dans cet article, nous prouvons que le processus d'erreur normalisé $N(X-X^{\rm NV})$ converge vers une EDS affine avec des termes sources impliquant les crochets de Lie entre les champs vectoriels browniens et le champ vectoriel de dérive. Ce résultat garantit que le taux de convergence fort est en fait égal à 1 lorsque les champs vectoriels browniens commuent, mais qu'au moins l'un d'entre eux ne commute pas avec le champ vectoriel de dérive. Lorsque tous les champs vectoriels commuent, la limite disparaît. Notre résultat est cohérent avec le fait que le schéma de Ninomiya-Victoir résout l'EDS dans ce cas.

Cette thèse étudie la gestion et la couverture du risque en s’appuyant sur la Value-at-Risk (VaR) et la Value-at-Risk Conditionnelle (CVaR), comme mesures de risque. La première partie propose un modèle d’évolution de prix que nous confrontons à des données réelles issues de la bourse de Paris (Euronext PARIS). Notre modèle prend en compte les probabilités d’occurrence des pertes extrêmes et les changements de régimes observés sur les données. Notre approche consiste à détecter les différentes périodes de chaque régime par la construction d’une chaîne de Markov cachée et à estimer la queue de distribution de chaque régime par des lois puissances. Nous montrons empiriquement que ces dernières sont plus adaptées que les lois normales et les lois stables. L’estimation de la VaR est validée par plusieurs backtests et comparée aux résultats d’autres modèles classiques sur une base de 56 actifs boursiers. Dans la deuxième partie, nous supposons que les prix boursiers sont modélisés par des exponentielles de processus de Lévy. Dans un premier temps, nous développons une méthode numérique pour le calcul de la VaR et la CVaR cumulatives. Ce problème est résolu en utilisant la formalisation de Rockafellar et Uryasev, que nous évaluons numériquement par inversion de Fourier. Dans un deuxième temps, nous nous intéressons à la minimisation du risque de couverture des options européennes, sous une contrainte budgétaire sur le capital initial. En mesurant ce risque par la CVaR, nous établissons une équivalence entre ce problème et un problème de type Neyman-Pearson, pour lequel nous proposons une approximation numérique s’appuyant sur la relaxation de la contrainte.

Dans cette thèse, nous proposons une approche progressive (forward) pour la représentation probabiliste d'Equations aux Dérivées Partielles (EDP) nonlinéaires et nonconservatives, permettant ainsi de développer un algorithme particulaire afin d'en estimer numériquement les solutions. Les Equations Différentielles Stochastiques Nonlinéaires de type McKean (NLSDE) étudiées dans la littérature constituent une formulation microscopique d'un phénomène modélisé macroscopiquement par une EDP conservative. Une solution d'une telle NLSDE est la donnée d'un couple $(Y,u)$ où $Y$ est une solution d' équation différentielle stochastique (EDS) dont les coefficients dépendent de $u$ et de $t$ telle que $u(t,cdot)$ est la densité de $Y_t$. La principale contribution de cette thèse est de considérer des EDP nonconservatives, c'est-à- dire des EDP conservatives perturbées par un terme nonlinéaire de la forme $Lambda(u,nabla u)u$. Ceci implique qu'un couple $(Y,u)$ sera solution de la représentation probabiliste associée si $Y$ est un encore un processus stochastique et la relation entre $Y$ et la fonction $u$ sera alors plus complexe. Etant donnée la loi de $Y$, l'existence et l'unicité de $u$ sont démontrées par un argument de type point fixe via une formulation originale de type Feynmann-Kac.

Ce tome présente des modèles aléatoires élémentaires (chaînes de Markov à temps discret et continu, lois de valeurs extrêmes) et certaines de leurs applications courantes : algorithmes d'optimisation, gestion des approvisionnements, dimensionnement de files d'attente, fiabilité et dimensionnement d'ouvrages. Des problématiques plus récentes sont également abordées: recherche de séquences exceptionnelles et de zones homogènes de l'ADN, estimation du taux de mutation de l'ADN, phénomènes de coagulation de molécules de polymères ou d'aérosols.Ce tome s'adresse à un public très large d'étudiants et d'enseignants. Le prérequis pour sa lecture est la maîtrise du contenu d'un cours d'initiation aux probabilités (4e de couv.).

Pas de résumé disponible.

Nous considérons l'algorithme de Metropolis de marche aléatoire sur $\R^n$ avec des propositions gaussiennes, et lorsque la probabilité cible est le produit n$ d'une loi unidimensionnelle. Dans la limite $n \to \infty$, il est bien connu que, lorsque la variance de la proposition est inversement proportionnelle à la dimension $n$ alors que le temps est accéléré par le facteur $n$, une limite diffusive est obtenue pour chaque composante de la chaîne de Markov si cette chaîne démarre à l'équilibre. Cet article étend ce résultat lorsque la distribution initiale n'est pas la mesure de probabilité cible. En remarquant que l'interaction entre les composantes de la chaîne due à l'acceptation/rejet commun des mouvements proposés est de type champ moyen, nous obtenons un résultat de propagation du chaos sous la même échelle que dans le cas stationnaire. Cela prouve que, en termes de dimension $n$, la même échelle est valable pour la phase transitoire de l'algorithme de Metropolis-Hastings que pour le cas proche de la stationnarité. La limite de diffusion et de champ moyen de chaque composante est un processus de diffusion non linéaire au sens de McKean. Ceci ouvre la voie à de nouvelles investigations sur le choix optimal de la variance de la distribution de la proposition afin d'accélérer la convergence vers l'équilibre.

Nous analysons les propriétés de convergence de l'algorithme de Wang-Landau. Cette méthode d'échantillonnage appartient à la classe générale des stratégies d'échantillonnage par importance adaptatives qui utilisent l'énergie libre le long d'une coordonnée de réaction choisie comme biais. De tels algorithmes sont très utiles pour améliorer les propriétés d'échantillonnage des algorithmes de Monte Carlo par chaîne de Markov, lorsque la dynamique est métastable. Nous prouvons la convergence de l'algorithme de Wang-Landau et un théorème central limite associé.

Cette thèse porte sur le développement de méthodes de Monte-Carlo pour calculer des représentations Feynman-Kac impliquant des opérateurs sous forme divergence avec un coefficient de diffusion constant par morceaux. Les méthodes proposées sont des variantes de la marche sur les sphères à l'intérieur des zones avec un coefficient de diffusion constant et des techniques de différences finies stochastiques pour traiter les conditions aux interfaces aussi bien que les conditions aux limites de différents types. En combinant ces deux techniques, on obtient des marches aléatoires dont le score calculé le long du chemin fourni un estimateur biaisé de la solution de l'équation aux dérivées partielles considérée. On montre que le biais global de notre algorithme est en général d'ordre deux par rapport au pas de différences finies. Ces méthodes sont ensuite appliquées au problème direct lié à la tomographie par impédance électrique pour la détection de tumeurs. Une technique de réduction de variance est également proposée dans ce cadre. On traite finalement du problème inverse de la détection de tumeurs à partir de mesures de surfaces à l'aide de deux algorithmes stochastiques basés sur une représentation paramétrique de la tumeur ou des tumeurs sous forme d'une ou plusieurs sphères. De nombreux essais numériques sont proposés et montrent des résultats probants dans la localisation des tumeurs.

L'algorithme SHUS (Self-Healing Umbrella Sampling) est un algorithme de biaisage adaptatif qui a été proposé pour échantillonner efficacement une mesure de probabilité multimodale. Nous montrons que cette méthode peut être considérée comme une variante de l'algorithme bien connu de Wang-Landau. En adaptant les résultats sur la convergence de l'algorithme de Wang-Landau, nous prouvons la convergence de l'algorithme SHUS. Nous comparons également les deux méthodes en termes d'efficacité. Nous proposons enfin une modification de l'algorithme SHUS afin d'augmenter son efficacité, et montrons certaines similarités de SHUS avec la méthode métadynamique bien tempérée.

Dans cet article, nous prouvons que le supremum temporel de la distance de Wasserstein entre les marginaux temporels d'une diffusion multidimensionnelle uniformément elliptique à coefficients bornés avec leurs dérivées jusqu'à l'ordre $2$ dans les variables spatiales et continue de Hölder avec un exposant $\gamma$ par rapport à la variable temps et son schéma d'Euler avec $N$ pas de temps uniformes est plus petit que $C \left(1+\mathbf{1}_{\gamma=1} \sqrt{\ln(N)}\right)N^{-\gamma}$. Pour ce faire, nous utilisons la théorie du transport optimal. Plus précisément, nous étudions comment appliquer la théorie d'Ambrosio, Gigli et Savaré pour calculer la dérivée temporelle de la distance de Wasserstein entre les marginaux temporels. Nous déduisons une inégalité de stabilité pour la distance de Wasserstein qui conduit finalement à l'estimation souhaitée.

Dans cet article, nous prouvons que le supremum temporel de la distance de Wasserstein entre les marginaux temporels d'une diffusion multidimensionnelle uniformément elliptique dont les coefficients sont bornés avec leurs dérivées jusqu'à l'ordre $2$ dans les variables spatiales et de Holder continue avec un exposant $\gamma$ par rapport à la variable temporelle et son schéma d'Euler avec $N$ pas de temps uniformes est inférieur à $C \left(1+\mathbf{1}_{\gamma=1} \sqrt{\ln(N)}\right)N^{-\gamma}$. Pour ce faire, nous utilisons la théorie du transport optimal. Plus précisément, nous étudions comment appliquer la théorie d'Ambrosio, Gigli et Savare pour calculer la dérivée temporelle de la distance de Wasserstein entre les marginaux temporels. Nous déduisons une inégalité de stabilité pour la distance de Wasserstein qui conduit finalement à l'estimation souhaitée.

Nous considérons l'algorithme de Metropolis de marche aléatoire sur $\R^n$ avec des propositions gaussiennes, et lorsque la mesure de probabilité cible est le produit n$ d'une loi unidimensionnelle. Il est bien connu (voir Roberts et al. (1997)) que, dans la limite $n \to \infty$, en partant de l'équilibre et pour un échelonnement approprié de la variance et de l'échelle de temps en fonction de la dimension $n$, une limite diffusive est obtenue pour chaque composante de la chaîne de Markov.

Nous analysons les propriétés de convergence de l'algorithme de Wang-Landau. Cette méthode d'échantillonnage appartient à la classe générale des stratégies d'échantillonnage par importance adaptatives qui utilisent l'énergie libre le long d'une coordonnée de réaction choisie comme biais. De tels algorithmes sont très utiles pour améliorer les propriétés d'échantillonnage des algorithmes de Monte Carlo à chaîne de Markov, lorsque la dynamique est métastable. Nous prouvons la convergence de l'algorithme de Wang-Landau et un théorème central limite associé.

Nous étudions une version à champ moyen des modèles de marchés d'actions basés sur les rangs, tels que le modèle Atlas introduit par Fernholz dans le cadre de la théorie stochastique du portefeuille. Nous obtenons une description asymptotique du marché lorsque le nombre de sociétés croît à l'infini. Ensuite, nous discutons de la distribution du capital à long terme. Nous retrouvons la forme de type Pareto des courbes de distribution du capital habituellement dérivées des études empiriques, et nous fournissons une nouvelle description du phénomène de transition de phase observé par Chatterjee et Pal. Enfin, nous abordons la performance des règles de portefeuille simples et soulignons l'influence de la structure de la volatilité sur la croissance des portefeuilles.

Cette thèse comporte trois parties essentiellement indépendantes, dont chacune est consacrée à l'étude d'un système de particules, suivant une dynamique déterministe ou aléatoire, et à l'intérieur duquel les interactions se font uniquement aux collisions entre les particules.La Partie I propose une étude numérique et théorique des états stationnaires hors de l'équilibre du Modèle d'Échange Complet, introduit en physique pour comprendre le transport de la chaleur dans certains matériaux poreux.La Partie II est consacrée à un système de particules browniennes évoluant sur la droite réelle et interagissant à travers leur rang. Le comportement limite de ce système, en temps long et à grand nombre de particules, est décrit, puis les résultats sont appliqués à l'étude d'un modèle de marché financier dit modèle d'Atlas en champ moyen.La Partie III introduit une version multitype du système de particules étudié dans la partie précédente, qui permet d'approcher des systèmes paraboliques d'équations aux dérivées partielles non-linéaires. La limite petit bruit de ce système est appelée dynamique des particules collantes multitype et approche cette fois des systèmes hyperboliques. Une étude détaillée de cette dynamique donne des estimations de stabilité en distance de Wasserstein sur les solutions de ces systèmes.

Nous introduisons des processus de diffusion basés sur l'ordre comme solutions d'équations différentielles stochastiques multidimensionnelles, avec un coefficient de dérive dépendant uniquement de l'ordre des coordonnées du processus et une matrice de diffusion proportionnelle à l'identité. Ces processus décrivent l'évolution d'un système de particules browniennes se déplaçant sur la ligne réelle avec des dérives constantes par morceaux, et sont la généralisation naturelle des processus de diffusion basés sur le rang introduits dans la théorie stochastique du portefeuille ou dans l'interprétation probabiliste des équations d'évolution non linéaires. En raison de la discontinuité du coefficient de dérive, les équations différentielles ordinaires correspondantes sont mal posées. Par conséquent, la limite du petit bruit des processus de diffusion basés sur les ordres n'est pas couverte par la théorie classique de Freidlin-Wentzell. La description de cette limite est l'objet de cet article. Nous donnons d'abord une analyse complète du cas à deux particules. Malgré son apparente simplicité, la limite de petit bruit d'un tel système présente déjà des comportements variés. En particulier, en fonction du coefficient de dérive, les particules peuvent soit se coller en un amas dont la vitesse est déterminée par des calculs élémentaires, soit dériver les unes par rapport aux autres à vitesse constante, dans un ordre aléatoire. La persistance du caractère aléatoire dans la limite du bruit nul est de la même nature que dans les travaux pionniers de Veretennikov (Mat. Zametki, 1983) et de Bafico et Baldi (Stochastics, 1981) concernant le phénomène dit de Peano. Dans le cas des processus basés sur les rangs, nous utilisons un simple argument de convexité pour prouver que la limite du petit bruit est décrite par la dynamique des particules collantes introduite par Brenier et Grenier (SIAM J. Numer. Anal., 1998), où les particules se déplacent à vitesse constante entre les collisions, auxquelles elles se collent. Dans le cas général des processus basés sur les ordres, nous donnons une condition suffisante sur la dérive pour que toutes les particules s'agrègent en un seul amas, et calculons la vitesse de cet amas. Notre argument consiste à transformer l'étude de la limite du petit bruit en étude du comportement à long terme d'un processus convenablement remis à l'échelle, puis à exposer une fonctionnelle de Lyapunov pour ce processus remis à l'échelle.

Dans cet article, nous nous intéressons au comportement à long terme de systèmes stochastiques de n vortex en interaction : la position dans R2 de chaque vortex évolue selon un mouvement brownien et une dérive additionnant les influences des autres vortex calculées par le noyau de Biot et Savart et multipliées par leurs vorticités respectives. Pour n fixe, nous effectuons les changements d'échelle de temps et d'espace utilisés avec succès par Gallay et Wayne [5] pour étudier le comportement à long terme de la formulation de la vorticité de l'équation de Navier-Stokes incompressible à deux dimensions, qui est la limite lorsque n → ∞ de la mesure empirique pondérée du système sous interaction de champ moyen. Lorsque toutes les vorticités partagent le même signe, on montre que le processus à 2n dimensions des positions rééchelonnées des tourbillons converge à une vitesse exponentielle lorsque le temps passe à l'infini vers une certaine mesure invariante qui s'avère être gaussienne si toutes les vorticités sont égales. Dans le cas particulier n = 2 de deux vortices, nous prouvons la convergence exponentielle en loi du processus à 4 dimensions vers une variable aléatoire explicite, quel que soit le choix des deux vorticités. Nous montrons que cette loi limite n'est pas gaussienne lorsque les deux vorticités ne sont pas égales.

Dans le présent article, nous prouvons que la distance de Wasserstein sur l'espace des chemins d'échantillonnage continus équipés de la norme du supremum entre les lois d'un processus de diffusion unidimensionnel uniformément elliptique et sa discrétisation d'Euler avec $N$ étapes est inférieure à $O(N^{-2/3+\varepsilon})$ où $\varepsilon$ est une constante positive arbitraire. Ce taux est intermédiaire entre l'estimation d'erreur forte en $O(N^{-1/2})$ obtenue en couplant l'équation différentielle stochastique et le schéma d'Euler avec le même mouvement brownien et l'estimation d'erreur faible $O(N^{-1})$ obtenue en comparant les espérances de la même fonction de la diffusion et du schéma d'Euler au temps terminal $T$. Nous vérifions également que le supremum sur $t\in[0,T]$ de la distance de Wasserstein sur l'espace des mesures de probabilité sur la ligne réelle entre les lois de la diffusion au temps $t$ et du schéma d'Euler au temps $t$ se comporte comme $O(\sqrt{\log(N)}N^{-1})$.

Nous nous intéressons à la distance de Wasserstein entre deux mesures de probabilité sur $\R^n$ partageant la même copule $C$. L'image de la mesure de probabilité $dC$ par les vecteurs des pseudo-inverses des distributions marginales est une généralisation naturelle du couplage connu pour être optimal en dimension $n=1$. Il s'avère que pour les fonctions de coût $c(x,y)$ égales à la puissance $p$ de la norme $L^q$ de $x-y$ dans $\R^n$, ce couplage n'est optimal que lorsque $p=q$, c'est-à-dire lorsque $c(x,y)$ peut être décomposé comme la somme des coûts par coordonnées.

Dans le présent article, nous traitons d'abord de la discrétisation des équations diérentielles stochastiques. Nous développons l'analyse de l'erreur faible du schéma d'Euler par Talay et Tubaro (31) pour construire des schémas avec un taux de convergence faible plus rapide pour les EDS correspondant à un générateur infinitésimal avec des coecients lisses. Nous étendons également cette analyse au cas d'un coecient de dérive discontinu. Dans une deuxième partie, nous présentons deux applications des algorithmes de gradient stochastique en finance.

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Les modèles de volatilité stochastique peuvent être considérés comme une famille particulière d'équations différentielles stochastiques (EDS) bidimensionnelles dans lesquelles le processus de volatilité suit une EDS unidimensionnelle autonome. Nous tirons parti de cette structure pour proposer un schéma de discrétisation efficace d'ordre deux à faible convergence. Nous prouvons que l'ordre deux est valable pour le prix de l'actif et pas seulement pour le log-actif comme on le trouve habituellement dans la littérature. Des expériences numériques confirment notre résultat théorique et nous montrons la supériorité de notre schéma par rapport au schéma d'Euler, avec ou sans extrapolation de Romberg.

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Nous étudions un problème de Cauchy parabolique quasilinéaire avec une fonction de distribution cumulative sur la ligne réelle comme condition initiale. Nous appelons "solution probabiliste" une solution faible qui reste une fonction de distribution cumulative à tout moment. Nous prouvons l'unicité d'une telle solution et nous déduisons son existence d'un résultat de propagation du chaos sur un système de processus de diffusion scalaires, dont les interactions ne dépendent que de leur rang. Nous étudions ensuite le comportement à long terme de la solution. En utilisant un argument probabiliste et sous des hypothèses faibles, nous montrons que le flux de la distance de Wasserstein entre deux solutions est contractif. Sous des conditions plus strictes assurant la régularité des solutions probabilistes, nous dérivons finalement une formule explicite pour la dérivée temporelle du flux et nous déduisons la convergence des solutions vers l'équilibre.

Dans les modèles habituels de volatilité stochastique, le processus qui détermine la volatilité du prix de l'actif évolue selon une équation différentielle stochastique unidimensionnelle autonome. Nous supposons que les coefficients de cette équation sont lisses. En utilisant la formule d'Itô, nous nous débarrassons, dans la dynamique du prix de l'actif, de l'intégrale stochastique par rapport au mouvement brownien pilotant cette EDD. En profitant de cette structure, nous proposons - un schéma, basé sur la discrétisation de Milstein de cette EDD, avec un ordre un de convergence faible pour le prix de l'actif, - un schéma, basé sur la discrétisation de Ninomiya-Victoir de cette EDD, avec un ordre deux de convergence faible pour le prix de l'actif. Nous proposons également un schéma spécifique avec des propriétés de convergence améliorées lorsque la volatilité du prix de l'actif est pilotée par un processus d'Orstein-Uhlenbeck. Nous confirmons les taux de convergence théoriques par des expériences numériques et montrons que nos schémas sont bien adaptés à la méthode de Monte Carlo multi-niveaux introduite par Giles [2008a, 2008b].

Dans cette thèse, nous traitons deux problèmes de contrôle optimal stochastique. Chaque problème correspond à une Partie de ce document. Le premier problème traité est très précis, il s'agit de la valorisation des contrats optionnels de vente de type Américain (dit Put Américain) en présence de dividendes discrets (Partie I). Le deuxième est plus général, puisqu'il s'agit dans un cadre discret en temps de prouver l'existence d'un principe de programmation dynamique sous des contraintes en probabilités (Partie II). Bien que les deux problèmes soient assez distincts, le principe de programmation dynamique est au coeur de ces deux problèmes. La relation entre la valorisation d'un Put Américain et un problème de frontière libre a été prouvée par McKean. La frontière de ce problème a une signification économique claire puisqu'elle correspond à tout instant à la borne supérieure de l'ensemble des prix d'actifs pour lesquels il est préférable d'exercer tout de suite son droit de vente. La forme de cette frontière en présence de dividendes discrets n'avait pas été résolue à notre connaissance. Sous l'hypothèse que le dividende est une fonction déterministe du prix de l'actif à l'instant précédant son versement, nous étudions donc comment la frontière est modifiée. Au voisinage des dates de dividende, et dans le modèle du Chapitre 3, nous savons qualifier la monotonie de la frontière, et dans certains cas quantifier son comportement local. Dans le Chapitre 3, nous montrons que la propriété du smooth-fit est satisfaite à toute date sauf celles de versement des dividendes. Dans les deux Chapitres 3 et 4, nous donnons des conditions pour garantir la continuité de cette frontière en dehors des dates de dividende. La Partie II est originellement motivée par la gestion optimale de la production d'une centrale hydro-electrique avec une contrainte en probabilité sur le niveau d'eau du barrage à certaines dates. En utilisant les travaux de Balder sur la relaxation de Young des problèmes de commande optimale, nous nous intéressons plus spécifiquement à leur résolution par programmation dynamique. Dans le Chapitre 5, nous étendons au cadre des mesures de Young des résultats dûs à Evstigneev. Nous établissons alors qu'il est possible de résoudre par programmation dynamique certains problèmes avec des contraintes en espérances conditionnelles. Grâce aux travaux de Bouchard, Elie, Soner et Touzi sur les problèmes de cible stochastique avec perte contrôlée, nous montrons dans le Chapitre 6 qu'un problème avec contrainte en espérance peut se ramener à un problème avec des contraintes en espérances conditionnelles. Comme cas particulier, nous prouvons ainsi que le problème initial de la gestion du barrage peut se résoudre par programmation dynamique.

La calibration des vanilles est un problème majeur de la finance. On tente ici de le résoudre pour trois classes de modèles : les modèles à volatilité locale et stochastique, le modèle dit à « corrélation locale » et un modèle hybride de volatilité locale avec taux stochastiques. D’un point de vue mathématique, l’équation de calibration est une équation non linéaire et intégro-différentielle particulièrement complexe. Dans une première partie, on prouve des résultats d’existence de solutions pour cette équation, ainsi que pour son adjoint (plus simple à résoudre). Ces résultats se fondent sur des méthodes de points fixes dans des espaces de Hölder et requièrent des théorèmes classiques relatifs aux équations aux dérivées partielles paraboliques, ainsi que quelques estimations à priori au temps court. La deuxième partie traite de l’application de ces résultats d’existence aux trois modèles financiers précédemment cités. On y expose également les résultats numériques obtenus en résolvant l’edp. La calibration par cette méthode est tout à fait satisfaisante. Enfin, dans un dernier temps, on s’intéresse à l’algorithme utilisé pour la résolution numérique : un schéma ADI prédicteur-correcteur, qu’on modifie pour prendre en compte le caractère non linéaire de l’équation. On décrit également un phénomène d’instabilité de la solution de l’edp qu’on tente d’expliquer d’un point de vue théorique grâce à l’instabilité dite de « Hadamard ».

Ce travail présente quelques résultats sur les systèmes de particules en interaction pour l'interprétation probabiliste des équations aux dérivées partielles, avec des applications à des questions de dynamique moléculaire et de chimie quantique. On présente notamment une méthode particulaire permettant d'analyser le processus de la force biaisante adaptative, utilisé en dynamique moléculaire pour le calcul de différences d'énergies libres. On étudie également la sensibilité de dynamiques stochastiques par rapport à un paramètre, en vue du calcul des forces dans l'approximation de Born-Oppenheimer pour rechercher l'état quantique fondamental de molécules. Enfin, on présente un schéma numérique basé sur un système de particules pour résoudre des lois de conservation scalaires, avec un terme de diffusion anormale se traduisant par une dynamique de sauts sur les particules.

La première partie de cette thèse est consacrée aux méthodes numériques pour la simulation de processus aléatoires définis par des équations différentielles stochastiques (EDS). Nous commençons par l’étude de l’algorithme de Beskos et al. [13] qui permet de simuler exactement les trajectoires d’un processus solution d’une EDS en dimension 1. Nous en proposons une extension à des fins de calcul exact d’espérances et nous étudions l’application de ces idées à l’évaluation du prix d’options asiatiques dans le modèle de Black & Scholes. Nous nous intéressons ensuite aux schémas numériques. Dans le deuxième chapitre, nous proposons deux schémas de discrétisation pour une famille de modèles à volatilité stochastique et nous en étudions les propriétés de convergence. Le premier schéma est adapté à l’évaluation du prix d’options path-dependent et le deuxième aux options vanilles. Nous étudions également le cas particulier où le processus qui dirige la volatilité est un processus d’Ornstein-Uhlenbeck et nous exhibons un schéma de discrétisation qui possède de meilleures propriétés de convergence. Enfin, dans le troisième chapitre, il est question de la convergence faible trajectorielle du schéma d’Euler. Nous apportons un début de réponse en contrôlant la distance de Wasserstein entre les marginales du processus solution et du schéma d’Euler, uniformément en temps. La deuxième partie de la thèse porte sur la modélisation de la dépendance en finance et ce à travers deux problématiques distinctes : la modélisation jointe entre un indice boursier et les actions qui le composent et la gestion du risque de défaut dans les portefeuilles de crédit. Dans le quatrième chapitre, nous proposons un cadre de modélisation original dans lequel les volatilités de l’indice et de ses composantes sont reliées. Nous obtenons un modèle simplifié quand la taille de l’indice est grande, dans lequel l’indice suit un modèle à volatilité locale et les actions individuelles suivent un modèle à volatilité stochastique composé d’une partie intrinsèque et d’une partie commune dirigée par l’indice. Nous étudions la calibration de ces modèles et montrons qu’il est possible de se caler sur les prix d’options observés sur le marché, à la fois pour l’indice et pour les actions, ce qui constitue un avantage considérable. Enfin, dans le dernier chapitre de la thèse, nous développons un modèle à intensités permettant de modéliser simultanément, et de manière consistante, toutes les transitions de ratings qui surviennent dans un grand portefeuille de crédit. Afin de générer des niveaux de dépendance plus élevés, nous introduisons le modèle dynamic frailty dans lequel une variable dynamique inobservable agit de manière multiplicative sur les intensités de transitions. Notre approche est purement historique et nous étudions l’estimation par maximum de vraisemblance des paramètres de nos modèles sur la base de données de transitions de ratings passées.

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Ce travail porte principalement sur l'analyse mathématique de modèles multi-échelles pour la simulation de fluides polymériques. Ces modèles couplent, au niveau microscopique, une description moléculaire de l'évolution des chaînes de polymère (sous forme d'une équation différentielle stochastique) avec, au niveau macroscopique, les équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement pour le solvant (sous forme d'équations aux dérivées partielles). Le chapitre 1 introduit les modèles et donne les principaux résultats obtenus. Dans les chapitres 2, 4, 5 et 7 on montre en quel sens les équations sont bien posées pour divers modèles de polymère, en considérant soit des écoulements homogènes, soit des écoulements cisaillés plans. Dans les chapitres 2, 3, 6 et 7, on analyse et on prouve la convergence de méthodes numériques pour ces modèles. Enfin, le chapitre 8 concerne le comportement en temps long du système. Une deuxième partie de ce document est constituée de trois chapitres portant sur un travail en magnétohydrodynamique (MHD), en collaboration avec l'industrie. Le chapitre 9 est une introduction à la problématique ainsi qu'aux méthodes numériques utilisées. Le chapitre 10 décrit un nouveau cas-test en MHD. Enfin, le chapitre 11 donne une analyse de la stabilité du schéma numérique utilisé.

Le smile de volatilité implicite observé sur les marchés d'options traduit l'insuffisance du modèle de Black et Scholes. Avec la nécessité d'élaborer un modèle actif financier plus satisfaisant, vient celle de sa calibration, objet de cette thèse. La calibration par minimisation de l'entropie relative a été proposée récemment dans le cadre de la méthode de Monte-Carlo. On a étudié la convergence et la stabilité de cette méthode et on l'a étendue à des critères plus généraux que l'entropie relative. Pour qu'il y ait l'absence d'opportunité d'arbitrage, il faut que le sous-jacent actualisé soit une martingale. La prise en compte de cette nécessité est absordée sous l'angle d'un problème de moments. Dans la deuxième partie, on a considéré un modèle simple du phénomène de krach en introduisant en particulier des sauts dans la volatilité du sous-jacent. On a calculé le risque quadratique et effectué un développement approché du smile qui constitue un outil pour la calibration. Finalement, dans la troisième partie, on utilise l'entropie relative afin de calibrer l'intensité des sauts d'un modèle de diffusion avec sauts et volatilité locale. La stabilité de la méthode est prouvée grâce à des techniques de contrôle optimal ainsi qu'au théorème des fonctions implicites.

La demarche adoptee dans ce travail de these est la suivante. Considerant une equation d'evolution non lineaire, nous cherchons a lui associer une probabilite p sur un espace de trajectoires telle que : - ou bien les marginales en temps de p possedent par rapport a la mesure de lebesgue en espace des densites qui sont solution faible de l'equation d'evolution - ou bien, dans le cas de la dimension un d'espace, les fonctions de repartition des marginales sont solution faible de l'equation. Une fois la probabilite p obtenue comme l'unique solution d'un probleme de martingales non lineaire, nous construisons un systeme de n particules en interaction probabiliste dont la mesure empirique converge vers p lorsque n tend vers l'infini. Un tel resultat de convergence, appele propagation du chaos, permet d'envisager d'approcher les solutions de l'equation d'evolution en simulant le systeme de particules. Pour l'essentiel, nous traitons suivant ce programme des equations de type parabolique dont l'equation de burgers visqueuse et celle des milieux poreux. Sous p, le processus canonique sur l'espace des trajectoires continues est alors une diffusion non lineaire. Nous nous interessons aussi a une equation cinetique liee aux lois de conservation scalaires et travaillons pour cela sur un espace de trajectoires comportant des sauts. Enfin, nous montrons sur des exemples qu'il n'est pas necessaire de se limiter au cas naturel ou la condition initiale de l'equation d'evolution est une probabilite ou une fonction de repartition de probabilite. Il est possible d'adapter la demarche pour prendre en compte les mesures signees bornees ou leurs fonctions de repartition.

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