Sur le comportement à long terme des systèmes de vortex stochastiques.

Résumé Dans cet article, nous nous intéressons au comportement à long terme de systèmes stochastiques de n vortex en interaction : la position dans R2 de chaque vortex évolue selon un mouvement brownien et une dérive additionnant les influences des autres vortex calculées par le noyau de Biot et Savart et multipliées par leurs vorticités respectives. Pour n fixe, nous effectuons les changements d'échelle de temps et d'espace utilisés avec succès par Gallay et Wayne [5] pour étudier le comportement à long terme de la formulation de la vorticité de l'équation de Navier-Stokes incompressible à deux dimensions, qui est la limite lorsque n → ∞ de la mesure empirique pondérée du système sous interaction de champ moyen. Lorsque toutes les vorticités partagent le même signe, on montre que le processus à 2n dimensions des positions rééchelonnées des tourbillons converge à une vitesse exponentielle lorsque le temps passe à l'infini vers une certaine mesure invariante qui s'avère être gaussienne si toutes les vorticités sont égales. Dans le cas particulier n = 2 de deux vortices, nous prouvons la convergence exponentielle en loi du processus à 4 dimensions vers une variable aléatoire explicite, quel que soit le choix des deux vorticités. Nous montrons que cette loi limite n'est pas gaussienne lorsque les deux vorticités ne sont pas égales.