Méthodes numériques par quantification optimale en finance.

Résumé Cette thèse est divisée en quatre parties pouvant être lues indépendamment. Dans ce manuscrit, nous apportons quelques contributions à l’étude théorique et aux applications en finance de la quantification optimale. Dans la première partie, nous rappelons les fondements théoriques de la quantification optimale ainsi que les méthodes numériques classiques pour construire des quantifieurs optimaux. La seconde partie se concentre sur le problème d’intégration numérique en dimension 1. Ce problème apparait lorsque l’on souhaite calculer numériquement des espérances, tel que l’évaluation de produits dérivés. Nous y rappelons les résultats d’erreurs forts et faibles existants et étendons les résultats des convergences d’ordre 2 à d’autres classes de fonctions moins réguliers. Dans un deuxième temps, nous présentons un résultat de développement d’erreur faible en dimension 1 et un second développement en dimension supérieure pour un quantifieur produit. Dans la troisième partie, nous nous intéressons à une première application numérique. Nous introduisons un modèle de Heston stationnaire dans lequel la condition initiale de la volatilité est supposée aléatoire de loi la distribution stationnaire de l’EDS du CIR régissant la volatilité. Cette variante du modèle de Heston original produit pour les options européennes sur les maturités courtes un smile de volatilité implicite plus prononcé que le modèle standard. Nous développons ensuite une méthode numérique à base de quantification récursive produit pour l’évaluation d’options bermudiennes et barrières. La quatrième et dernière partie traite d’une deuxième application numérique, l’évaluation d’options bermudiennes sur taux de change dans un modèle 3 facteurs. Ces produits sont connus sur les marchés sous le noms de PRDC. Nous proposons deux schémas pour évaluer ce type d’options toutes deux basées sur de la quantification optimale produit et établissons des estimations d’erreur à priori.